Rozwiązanie:
Mamy:
[tex]$\iint\limits^{}_{D} \sin \sqrt{x^{2}+y^{2}} \ dxdy[/tex]
[tex]$D=\Big \{(x,y): \frac{\pi^{2}}{9} \leq x^{2}+y^{2}\leq \pi^{2}\Big\}[/tex]
Będziemy zatem całkowali po pierścieniu kołowym:
[tex]0\leq \varphi\leq 2\pi[/tex]
[tex]$\frac{\pi}{3}\leq r\leq \pi[/tex]
Przechodząc na współrzędne biegunowe:
[tex]x=r\cos \varphi[/tex]
[tex]$y=r\sin \varphi[/tex]
Mamy zatem:
[tex]$\iint\limits^{}_{D} \sin \sqrt{x^{2}+y^{2}} \ dxdy=\int\limits^{2\pi}_{0} \int \limits^{\pi}_{\frac{\pi}{3} } r\sin \sqrt{(r \cos \varphi)^{2}+(r\sin \varphi)^{2}} \ dr d \varphi=[/tex]
[tex]$=\int\limits^{2\pi}_{0}\int\limits^{\pi}_{\frac{\pi}{3} } r \sin \sqrt{r^{2}(\sin ^{2}\varphi +\cos^{2} \varphi)} \ dr d \varphi=\int\limits^{2\pi}_{0}\int\limits^{\pi}_{\frac{\pi}{3} } r\sin r \ dr d \varphi=[/tex]
[tex]$=\int\limits^{2\pi}_{0} \Big[-r\cos r+\sin r\Big]^{\pi}_{\frac{\pi}{3} } \ d \varphi=\int\limits^{2\pi}_{0} \pi+\frac{\pi}{6} -\frac{\sqrt{3}}{2} \ d \varphi=\int\limits^{2\pi}_{0}\frac{7\pi}{6}-\frac{\sqrt{3}}{2} \ d \varphi=[/tex]
[tex]$=\Big[\varphi \Big(\frac{7\pi }{6} -\frac{\sqrt{3}}{2} \Big)\Big]^{2\pi}_{0}=\frac{7\pi^{2}}{3} -\pi \sqrt{3}=\frac{7\pi^{2}-3\pi \sqrt{3}}{3}[/tex]
