Witaj :)
W pierwszej kolejności obliczymy długości boków tego trójkąta (długości odcinków |AB|, |AC|, |BC|). Wzór na długość odcinka o końcach w punktach A i B wyraża wzór:
[tex]A(x_A;y_A)\ \wedge \ B(x_B;y_B)\ to:\\\\|AB|= \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}[/tex]
- Obliczam długość boku |AB|
[tex]A(-6;1),\ gdzie:\ x_A=-6,\ y_A=1\\B(6;-4), gdzie:\ x_B=6,\ y_B=-4\\\\|AB|=\sqrt{(6-(-6))^2+(-4-1)^2}=\sqrt{12^2+(-5)^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13[/tex]
- Obliczam długość boku |AC|
[tex]A(-6;1),\ gdzie:\ x_A=-6,\ y_A=1\\C(6;1), gdzie:\ x_C=6,\ y_C=1\\\\|AC|=\sqrt{(6-(-6))^2+(1-1)^2}=\sqrt{12^2+0^2}=\sqrt{144}=12[/tex]
- Obliczam długość boku |BC|
[tex]B(6;-4),\ gdzie:\ x_B=6,\ y_B=-4\\C(6;1), gdzie:\ x_C=6,\ y_C=1\\\\|BC|=\sqrt{(6-6)^2+(1-(-4))^2}=\sqrt{0^2+5^2}=\sqrt{25}=5[/tex]
Mamy już obliczone długości boków tego trójkąta. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa sprawdźmy, czy ten trójkąt jest prostokątny. Wprowadźmy oznaczenia:
[tex]|AC|=a=12\\|BC|=b=5\\|AB|=c=13[/tex]
Więc:
[tex]a^2+b^2=c^2\\12^2+5^2=13^2\\144+25=169\\169=169\\L=P[/tex]
Otrzymaliśmy prawdę, więc trójkąt ten jest trójkątem prostokątnym.
Zajmiemy się teraz obliczeniem wartości funkcji trygonometrycznych. Dla przypomnienia podamy sobie definicje czterech podstawowych funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym:
- sinus kąta ostrego - sinusem nazywamy stosunek długości przyprostokątnej, która leży na przeciw rozpatrywanego kąta ostrego, do długości jego przeciwprostokątnej,
- cosinus kąta ostrego - cosinusem nazywamy stosunek długości przyprostokątnej, która leży przy rozpatrywanym kącie ostrym, do długości jego przeciwprostokątnej,
- tangens kąta ostrego - tangensem nazywamy stosunek długości przyprostokątnej, która leży naprzeciw rozpatrywanego kąta ostrego, do długości przyprostokątnej przy rozpatrywanym kącie,
- cotangens kąta ostrego - cotangensem nazywamy stosunek długości przyprostokątnej, która leży przy rozpatrywanym kącie ostrym, do długości drugiej przyprostokątnej.
Obliczenie wartości funkcji trygonometrycznych dla kąta ostrego α (patrz załącznik)
[tex]a=12\\b=5\\c=13[/tex]
[tex]\large \boxed{\sin\alpha =\frac{a}{c}= \frac{12}{13} }[/tex]
[tex]\large \boxed{\cos \alpha=\frac{b}{c}=\frac{5}{13} }[/tex]
[tex]\large \boxed{tg\alpha=\frac{a}{b}=\frac{12}{5}}[/tex]
- Obliczam cotangens kąta α
[tex]\large \boxed{ctg\alpha=\frac{b}{a}=\frac{5}{12} }[/tex]
Obliczenie wartości funkcji trygonometrycznych dla kąta ostrego β (patrz rysunek)
[tex]a=12\\b=5\\c=13[/tex]
[tex]\large \boxed{\sin \beta =\frac{b}{c}=\frac{5}{13} }[/tex]
[tex]\large \boxed{\cos \beta=\frac{a}{c}=\frac{12}{13} }[/tex]
[tex]\large \boxed{tg\beta=\frac{b}{a}=\frac{5}{12} }[/tex]
[tex]\large \boxed{ctg\beta=\frac{a}{b}=\frac{12}{5}}[/tex]
Z powyższych obliczeń możemy zauważyć pewną zależność, a mianowicie:
[tex]\sin\alpha=\cos\beta\\\cos\alpha=\sin\beta\\tg\alpha=ctg\beta\\ctg\alpha=tg\alpha[/tex]
