Rozwiązanie:
Mamy:
[tex]$\sin \alpha +\sin 2\alpha +...+\sin k\alpha =\frac{\cos \frac{1}{2} \alpha-\cos \Big(k+\frac{1}{2} \Big)\alpha}{2\sin \frac{1}{2}\alpha }[/tex]
[tex]$\sum\limits^{k}_{n= 1}\sin(n\alpha)=\frac{\cos \frac{1}{2} \alpha-\cos \Big(k+\frac{1}{2} \Big)\alpha}{2\sin \frac{1}{2}\alpha }[/tex]
Najpierw sprawdzamy, czy równość zachodzi dla [tex]k=1[/tex] :
[tex]$\sin \alpha=\frac{\cos \frac{1}{2}\alpha-\cos\frac{3}{2}\alpha }{2\sin \frac{1}{2}\alpha}[/tex]
[tex]$\sin \alpha = \frac{-2\sin \frac{\frac{1}{2}\alpha +\frac{3}{2}\alpha }{2} \sin \frac{\frac{1}{2}\alpha -\frac{3}{2}\alpha }{2} }{2\sin \frac{1}{2} \alpha}[/tex]
[tex]$\sin \alpha = \frac{2\sin \alpha \sin \frac{1}{2}\alpha }{2 \sin \frac{1}{2}\alpha }[/tex]
[tex]$\sin \alpha = \sin \alpha[/tex]
[tex]L=P[/tex]
Założenie indukcyjne:
[tex]$\sum\limits^{k}_{n= 1}\sin(n\alpha)=\frac{\cos \frac{1}{2} \alpha-\cos \Big(k+\frac{1}{2} \Big)\alpha}{2\sin \frac{1}{2}\alpha }[/tex]
Teza indukcyjna:
[tex]$\sum\limits^{k+1}_{n= 1}\sin(n\alpha)=\frac{\cos \frac{1}{2} \alpha-\cos \Big(k+\frac{3}{2} \Big)\alpha}{2\sin \frac{1}{2}\alpha }[/tex]
Dowód:
[tex]$\sum\limits^{k}_{n= 1}\sin(n\alpha) + \sin(k+1)\alpha=\frac{\cos \frac{1}{2} \alpha-\cos \Big(k+\frac{3}{2} \Big)\alpha}{2\sin \frac{1}{2}\alpha }[/tex]
[tex]$\sum\limits^{k}_{n= 1}\sin(n\alpha) =\frac{\cos \frac{1}{2} \alpha-\cos \Big(k+\frac{3}{2} \Big)\alpha}{2\sin \frac{1}{2}\alpha }- \sin(k+1)\alpha[/tex]
[tex]$\sum\limits^{k}_{n= 1}\sin(n\alpha) =\frac{\cos \frac{1}{2} \alpha-\cos \Big(k+\frac{3}{2} \Big)\alpha-2\sin\frac{1}{2}\alpha\sin(k+1)\alpha }{2\sin \frac{1}{2}\alpha }[/tex]
[tex]$\sum\limits^{k}_{n= 1}\sin(n\alpha) =\frac{\cos \frac{1}{2} \alpha-\cos \Big(k+\frac{3}{2} \Big)\alpha-\cos\Big(k+\frac{1}{2} \Big)\alpha+\cos \Big(k+\frac{3}{2} \Big)\alpha }{2\sin \frac{1}{2}\alpha }[/tex]
[tex]$\sum\limits^{k}_{n= 1}\sin(n\alpha) =\frac{\cos \frac{1}{2} \alpha-\cos\Big(k+\frac{1}{2} \Big)\alpha }{2\sin \frac{1}{2}\alpha }[/tex]
co jest prawdą na podstawie założenia.
