MilisV3000
Rozwiązane

Wykaż ze dla a >=0 i b>=0 prawdziwa jest nierówność a+b/2 >= pierw. z ab



Odpowiedź :

Konrad509

Prawdziwość tej nierówności wynika od razu z nierówności między średnimi.

Ale można dowieść tego inaczej.

[tex]\dfrac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}\\a+b\geq2\sqrt{ab}\\(a+b)^2\geq4ab\\a^2+2ab+b^2\geq4ab\\a^2-2ab+b^2\geq0\\(a-b)^2\geq0[/tex]

Co jest prawdą dla dowolnych [tex]a[/tex] i [tex]b[/tex], ponieważ kwadrat liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny.

WhiteRedemption

Odpowiedź:

Zauważmy, że dla a≥0 i b≥0 zachodzi :

[tex](a-b)^2\geq 0[/tex]

[tex](a+b)^2 \geq 4ab[/tex]

[tex]\frac{(a+b) ^2}{4} \geq ab[/tex]

[tex]\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}[/tex]

Inne Pytanie