Kombinatoryka, podzielność, wierzchołki
- Ile jest liczb trzycyfrowych parzystych o cyfrach ze zbioru {1, 2, 3, 4}?
(2 lub 4 na końcu) * (dowolna z trzech) * (dowolna z dwóch)
[tex]2 \cdot 3 \cdot 2 = 12[/tex] - Ile trójkątów wyznaczają wierzchołki ośmiokąta foremnego?
(wybieramy dowolne trzy wierzchołki)
[tex]{ 8 \choose 3} = \frac{8!}{(8-3)!3!} = 7\cdot 8 = 56[/tex] - Ile jest liczb trzycyfrowych podzielnych przez trzy?
(najmniejsza to 102, największa to 999 - odejmujemy, dzielimy przez 3 i dodajemy 1)
[tex](999-102)/3 +1 = 300[/tex] - Ile jest wszystkich liczb pięciocyfrowych podzielnych przez trzy o cyfrach ze zbioru {0, 1}?
(na miejscu "dziesiątek tysięcy" musi stać 1 - inaczej liczba nie będzie pięciocyfrowa - na pozostałych czterech miejscach musimy rozłożyć dwie jedynki - wtedy suma cyfr będzie podzielna przez trzy)
[tex]{4 \choose 2} = \frac{4!}{(4-2)! 2!} = 6[/tex] - Ile jest wszystkich liczb siedmiocyfrowych o cyfrach ze zbioru {0, 1}, która suma cyfr jest równa trzy?
(analogicznie)
[tex]{6 \choose 2} = \frac{6!}{(6-2)! 2!} = 15[/tex] - Ile jest liczb czterocyfrowych o różnych cyfrach i równocześnie większych od 4300?
[tex](*)[/tex] gdy na miejscu "tysięcy" jest cyfra 4 (1 możliwość),
na "setkach" może być 3,5,6,7,8,9 (6 możliwości),
na "dziesiątkach" - "nie-4" i "nie-cyfra-setek": (8 możliwości),
na "jednościach" - "nie-4", "nie-cyfra-setek", "nie-cyfra-dziesiątek": (7 możliwości)
[tex]1 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 7 = 336[/tex]
[tex](*)[/tex] w pozostałych interesujących przypadkach mamy:
na "tysiącach": 5,6,7,8,9 (5 możliwości)
na "setkach", "dziesiątkach", jednościach" odpowiednio: 9 możliwości, 8 możliwości, 7 możliwości
[tex]5*9*8*7=2520[/tex]
[tex](*)[/tex] odpowiedź: [tex]336+2520 = 2856[/tex]
W zadaniach powyższych często pojawiał się symbol Newtona. Oznacza on: "na ile sposobów możemy wybrać [tex]k[/tex] obiektów spośród [tex]n[/tex] możliwych obiektów". Zapisywany jest jako:
[tex]{n \choose k} = \frac{n!}{(n-k)! k!}[/tex]
