Zadanie 7.
Trójkąt BEC jest podobny do trójkąta ABC z cechy kkk (oba trójkąty są prostokątne i mają kąt wspólny ACB). Wykorzystamy tę własność, żeby policzyć długości wysokości BE i odcinka EC.
Najpierw policzmy długość przeciwprostokątnej AC z tw. Pitagorasa.
[tex]|AC|^2=15^2+8^2\\|AC|^2=225+64\\|AC|^2=289\\|AC|=17[/tex]
Obliczmy skalę podobieństwa trójkąta BEC do trójkąta ABC.
[tex]k=\frac{|BC|}{|AB|}=\frac{8}{17}[/tex]
Obliczmy długości BE i EC.
[tex]|BE|=k*|AB|=\frac{8}{17}*15=\frac{120}{17}=7\frac{1}{17}\\|EC|=k*|BC|=\frac{8}{17}*8=\frac{64}{17}=3\frac{13}{17}[/tex]
Obliczmy długość odcinka EF.
[tex]|EF|=|AC|-2*|EC|=17-2*\frac{64}{17}=17-\frac{128}{17}=17-7\frac{9}{17}=9\frac{8}{17}[/tex]
Obliczmy pole równoległoboku BEDF.
[tex]P_{BEDF}=2*P_{\Delta BEF}=2*\frac{|EF|*|BE|}{2}=|EF|*|BE|=9\frac{8}{17}*7\frac{1}{17}=\\=\frac{161}{17}*\frac{120}{17}=\frac{19320}{289}=66\frac{246}{289}[/tex]
Odp: [tex]P_{BEDF}=66\frac{246}{289}[/tex]
Zadanie 8.
Trójkąty EGC i BFD są podobne do trójkąta BAC z cechy kkk (wszystkie są prostokątne i mają po jednym kącie wspólnym odpowiednio przy wierzchołku C i B). Wykorzystamy tę własność, żeby policzyć długości odcinków EG, CG, BF i DF.
Najpierw policzmy długość przeciwprostokątnej BC z tw. Pitagorasa.
[tex]|BC|^2=6^2+4^2\\|BC|^2=36+16\\|BC|^2=52\\|BC|=\sqrt{52}=\sqrt{4*13}=2\sqrt{13}[/tex]
Obliczmy skalę podobieństwa trójkąta EGC do trójkąta BAC.
[tex]k_1=\frac{|EC|}{|BC|}=\frac{\frac{1}{2}|AC|}{|BC|}=\frac{2}{2\sqrt{13}}=\frac{1}{\sqrt{13}}*\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}=\frac{\sqrt{13}}{13}[/tex]
Obliczmy skalę podobieństwa trójkąta BFD do trójkąta BAC.
[tex]k_2=\frac{|DB|}{|BC|}=\frac{\frac{1}{2}|AB|}{|BC|}=\frac{3}{2\sqrt{13}}*\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}=\frac{3\sqrt{13}}{26}[/tex]
Policzmy pola wszystkich trzech trójkątów.
[tex]P_{\Delta BAC}=\frac{|AB|*|AC|}{2}=\frac{6*4}{2}=12\\P_{\Delta EGC}=k_1^2*P_{\Delta BAC}=(\frac{\sqrt{13}}{13})^2*12=\frac{13}{169}*12=\frac{1}{13}*12=\frac{12}{13}\\P_{\Delta BFD}=k_2^2*P_{\Delta BAC}=(\frac{3\sqrt{13}}{26})^2*12=\frac{9*13}{676}*12=\frac{9}{52}*12=\frac{9}{13}*3=\frac{27}{13}=2\frac{1}{13}[/tex]
Policzmy pole pięciokąta ADFGE.
[tex]P_{ADFGE}=P_{\Delta BAC}-(P_{\Delta EGC}+P_{\Delta BFD})=12-(\frac{12}{13}+2\frac{1}{13})=12-3=9[/tex]
Odp: [tex]P_{ADFGE}=9[/tex]
