Rozwiązane

1. Przez punkty A=(-3,9) i B=(-2,10) przechodzi prosta y = ax+ b.
Podaj a i b.
2. Prosta ax + y +c =0 , przechodzi przez punkty A=(2,10) i B=(-3,-5)
Podaj c.
3. Punkt K=(-5,-14) jest środkiem odcinka PQ. Wyznacz równanie prostej k prostopadłej do odcinka PQ i przechodzącej przez punkt Q= , wiedząc, że P=(-11,2). Zapisz równanie prostej w postaci kierunkowej y=ax + b.
xk=-5
yk=-11
Podaj a i b
4. Dane są punkty M=(-9,11) oraz N=(-1,14). Symetralna odcinka MN opisana jest wzorem x + by + c = 0.
Podaj c
Symetralna odcinka MN przecina prostą -3x - 2y +28 = 0 w punkcie P(xp,yp).
Podaj xp i yp.



Odpowiedź :

Catta1eya

1.

[tex]A=(-3, 9)\\B=(-2, 10)\\\\\left \{ {{9=-3a+b /*(-2)} \atop {10=-2a+b /*3}} \right. \\+\left \{ {{-18=6a-2b} \atop {30=-6a+3b}} \right. \\-18+30=-2b+3b\\12=b\\9=-3a+12 /-12\\-3=-3a /:(-3)\\1=a\\\\y=x+12[/tex]

2.

[tex]ax+y+c=0\\A=(2, 10)\\B=(-3, -5) \\\left \{ {{10=2a+b /*3} \atop {-5=-3a+b/*2}} \right. \\+\left \{ {{30=6a+3b} \atop {-10=-6a+2b}} \right. \\30-10=3b+2b\\20=5b /:5\\4=b\\10=2a+4 /-4\\6=2a /:2\\3=a\\\\y=3x+4\\0=3x+y+4\\3x+y+4=ax+y+c\\c=4[/tex]

3.

[tex]K=(-5, -14)\\P=(-11, 2)\\K=(-5, -14)=(\frac{x_P+x_Q}2; \frac{y_P+y_Q}2)\\-5=\frac{-11+x_Q}2 /*2\\-10=-11+x_Q /+1\\1=x_Q\\\\-14=\frac{2+y_Q}2 /*2\\-28=2+y_Q /-2\\-30=y_Q\\\\Q=(1, -30)[/tex]

Rownanie prostej przechodzacej przez punkty PQ

[tex]\left \{ {{2=-11a+b} \atop {-30=a+b /*(-1)}} \right. \\+\left \{ {{2=-11a+b} \atop {30=-a-b}} \right. \\2+30=-11a-a\\32=-12a /:(-12)\\-\frac{32}{12}=a\\a=-\frac{8}3[/tex]

Wspolczynnik prostej prostopadlej

[tex]a_1=-\frac83\\a_1*a_2=-1\\-\frac83*a_2=-1 /*(-\frac38)\\a_2=\frac38[/tex]

Rownanie prostej k prostopadlej, przechodzacej przez punkt Q

[tex]-30=\frac38*1+b\\-30=\frac38+b /-\frac38\\-30\frac38=b\\-\frac{243}8=b\\\\y=\frac38x-\frac{243}8[/tex]

4.

a)

[tex]M=(-9, 11)\\N=(-1, 14)\\\\S=(\frac{-9-1}2; \frac{11+14}2)\\S=(\frac{-10}2; \frac{25}2)\\S=(-5; 12.5)\\[/tex]

Rownanie prostej przechodzacej przez punkty M i N

[tex]\left \{ {{11=-9a+b} \atop {14=-a+b /*(-1)}} \right. \\+\left \{ {{11=-9a+b} \atop {-14=a-b}} \right. \\11-14=-9a+a\\-3=-8a /:(-8)\\\frac38=a[/tex]

Wspolczynnik kierunkowy symetralnej

[tex]a_1=\frac38\\a_1*a_2=-1\\\frac38*a_2=-1 /*\frac83\\a_2=-\frac83[/tex]

Rownanie prostej prostopadlej przechodzacej przez punkt S

[tex]\frac{25}2=-\frac83*(-5)+b\\\frac{25}2=\frac{40}3+b /-\frac{40}3\\\frac{25}2-\frac{40}3=b\\b=\frac{75}{6}-\frac{80}{6}\\b=-\frac56\\\\y=-\frac83x-\frac56 /*6\\6y=-16x-5\\16x+6y+5=0\\\\c=5[/tex]

b)

Wyznaczamy punkt przeciecia dwoch prostych

[tex]k: y=-\frac83x-\frac56\\-3x-2y+28=0\\-2y=3x-28 /:(-2)\\y=\frac{3x-28}{-2}\\y=\frac{-(-3x+28)}{-2}\\y=\frac{-3x+28}2\\l: y=-\frac32x+14[/tex]

[tex]-\frac83x-\frac56=-\frac32x+14\\\\-\frac83x+\frac32=14+\frac56\\\\-\frac{16}{6}x+\frac{9}{6}x=\frac{89}6\\-\frac{7}6x=\frac{89}6 /*6\\-7x=89 /:(-7)\\x=-\frac{89}7\\\\y=-\frac32*(-\frac{89}7)+14\\\\y=\frac{267}{14}+14\\y=\frac{267}{14}+\frac{196}{14}\\y=\frac{463}{14}[/tex]

[tex]x_P=-\frac{89}7\\y_P=\frac{463}{14}[/tex]

Inne Pytanie