Odpowiedź:
[tex]3\sqrt{3}+4\sqrt{5}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Definicja wartości bezwzględnej:
[tex]$|x|=\left \{ {{x \ \ \ \text{dla} \ \ x\geq 0} \atop {-x \ \ \ \text{dla} \ \ \ x < 0}} \right.[/tex]
Ktoś powie - co to w zasadzie ma być? Sprawa jest prosta, jeżeli wartość liczby pod modułem (inna nazwa wartości bezwzględnej) jest większa lub równa zero, to wtedy wartość bezwzględna jest równa tej liczbie, przykładowo:
[tex]|12512|=12512[/tex]
bo liczba [tex]12512[/tex] jest większa od zera.
Natomiast jeżeli wartość liczby pod modułem jest ujemna, to wówczas wartość bezwzględna jest równa tej liczbie, ale ze zmienionym znakiem (po prostu wystarczy dopisać minus przed liczbą), przykładowo:
[tex]|-5|=-(-5)=5[/tex]
bo liczba [tex]-5[/tex] jest mniejsza od zera (czyli ujemna).
Po tym przy długim i niepotrzebnym zupełnie wywodzie możemy przejść do zadania:
[tex]2 \cdot |\sqrt{5}+\sqrt{3}|+|-\sqrt{3}-2\sqrt{5}|[/tex]
Pierwsza kwestia (jak widać na przykładach zamieszczonych wyżej) to określenie, czy liczba pod wartością bezwzględną jest większa, równa lub mniejsza od zera. Dlaczego tak? Musimy po prostu wiedzieć, czy zmienić znak przy wyniku, czy też nie robić tego.
Tak więc patrzymy na pierwszą wartość bezwzględną (a w zasadzie na liczbę pomiędzy tymi śmiesznymi kreskami) :
[tex]\sqrt{5}+\sqrt{3}[/tex]
Jak widać ta liczba jest dodatnia (większa od zera). Powiedzieliśmy, że:
"jeżeli wartość liczby pod modułem (inna nazwa wartości bezwzględnej) jest większa lub równa zero, to wtedy wartość bezwzględna jest równa tej liczbie".
Tak więc ile wynosi [tex]|\sqrt{5}+\sqrt{3}|[/tex] ? Oczywiście [tex]\sqrt{5}+\sqrt{3}[/tex].
Liczba druga - robimy dokładnie to samo:
[tex]-\sqrt{3}-2\sqrt{5}[/tex]
Tutaj sytuacja powinna być jasna - ta liczba musi być ujemna, bo mamy tutaj po prostu dwa minusy. Skoro tak, to teraz zaczynają się schody! Musimy zmienić znak w wyniku. To nie lada zadanie wykonujemy dopisując minus przed całą liczbą (najlepiej wziąć ją w nawias) :
[tex]|-\sqrt{3}-2\sqrt{5}|=-(-\sqrt{3}-2\sqrt{5})[/tex]
Taki twór należy teraz uprościć. Jak to zrobić? Z wyrażeń algebraicznych powinno być jasne, że minus przed nawiasem zmienia znaki (wszystkie) :
[tex]-(-\sqrt{3}-2\sqrt{5}) = \sqrt{3}+2\sqrt{5}[/tex]
Teraz możemy po prostu zamiast wartości bezwzględnych wstawić te liczby, które właśnie dostaliśmy. Wtedy mamy:
[tex]2 \cdot (\sqrt{5}+\sqrt{3})+\sqrt{3}+2\sqrt{5}=2\sqrt{5}+2\sqrt{3}+\sqrt{3}+2\sqrt{5}=3\sqrt{3}+4\sqrt{5}[/tex]
