Odpowiedź:
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}I_{1}=3,5A\\I_{2}=3A\\I_{3}=0,5A\end{array}\right[/tex]
Wyjaśnienie:
W obwodzie są dwa węzły, więc z prądowego prawa Kirchhoffa układamy jedno równanie:
[tex]I_{1}-I_{2}-I_{3}=0[/tex]
Teraz z napięciowego prawa Kirchhoffa układamy dwa równania (bo mamy trzy niewiadome). Dla porządku zamknijmy oczka zaznaczone na rysunku (z uwzględnieniem kierunku - antyzegarowo) :
Dla lewego oczka:
[tex]-E_{1}+R_{1}I_{1}+R_{5}I_{1}+R_{2}I_{2}-E_{2}=0[/tex]
Z prawego oczka:
[tex]E_{2}-R_{2}I_{2}+R_{3}I_{3}+R_{4}I_{3}=0[/tex]
Podstawiając dane otrzymujemy:
[tex]-40+5I_{1}+5I_{1}+5I_{2}-10=0[/tex]
[tex]10-5I_{2}+5I_{3}+5I_{3}=0[/tex]
Po podzieleniu przez [tex]5[/tex] i uproszczeniu:
[tex]2I_{1}+I_{2}-10=0[/tex]
[tex]-I_{2}+2I_{3}+2=0[/tex]
Teraz musimy rozwiązać układ trzech równań:
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}I_{1}-I_{2}-I_{3}=0\\2I_{1}+I_{2}-10=0\\-I_{2}+2I_{3}+2=0\end{array}\right[/tex]
Dodajemy równania [tex]I[/tex] i [tex]II[/tex] oraz [tex]II[/tex] i [tex]III[/tex]. Wtedy otrzymamy:
[tex]$\left \{ {{3I_{1}-I_{3}-10=0} \atop {2I_{1}+2I_{3}-8=0}} \right.[/tex]
Teraz wykonujemy operację [tex]2I + II[/tex] i dostajemy:
[tex]$8I_{1}-28=0 \Rightarrow I_{1}=\frac{28}{8} =3,5A[/tex]
Podstawiamy do któregoś z równań i obliczamy [tex]I_{3}[/tex] :
[tex]I_{3}=3I_{1}-10=3 \cdot 3,5-10=0,5A[/tex]
Na koniec obliczamy [tex]I_{2}[/tex] :
[tex]I_{2}=I_{1}-I_{3}=3,5-0,5=3A[/tex]
Ostatecznie mamy:
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}I_{1}=3,5A\\I_{2}=3A\\I_{3}=0,5A\end{array}\right[/tex]
