Ciągi - różnica ciągu, wyznaczanie wyrazów.
- Oznaczmy ósmą liczbę zapisaną przez Olę jako [tex]a_8 = 390[/tex]
- Oznaczmy pierwszą i drugą liczbę odpowiednio jako [tex]a_1 \; i \; a_2[/tex]
- Mamy wtedy liczby:
[tex]a_1\\a_2\\a_3 = a_1+a_2\\a_4 =a_2+(a_1+a_2) = a_1 + 2 a_2\\a_5 =(a_1+a_2) + (a_1 + 2 a_2) = 2a_1 + 3 a_2\\a_6 =(a_1 + 2 a_2) + (2a_1 + 3 a_2) = 3 a_1 + 5 a_2\\a_7 =(2a_1 + 3 a_2) + (3 a_1 + 5 a_2) = 5 a_1 + 8 a_2\\a_8 = (3 a_1 + 5 a_2) + (5 a_1 + 8 a_2) = 8 a_1 + 13 a_2\\a_9 = (5 a_1 + 8 a_2) + (8 a_1 + 13 a_2) = 13 a_1 + 21 a_2[/tex] - Mamy równanie:
[tex]8a_1 + 13 a_2 = 390\\8a_1 + 13 a_2 = 13 \cdot 30\\8a_1 = 13 \cdot (30 - a_2)[/tex]
zaś [tex]a_1 \; i \; a_2[/tex] muszą być całkowite, więc jedynie spełnione jest, gdy po obu stronach jest ten sam rozkład na dzielniki, czyli:
[tex]a_1 = 13\cdot k\\30-a_2 = 8\cdot k[/tex]
dla pewnej liczby naturalnej [tex]k[/tex] - Mamy więc dwie możliwe pary:
[tex]a_1 = 13 \quad i \quad a_2 = 22\\a_1 = 26 \quad i \quad a_2 = 14[/tex] - Które dają nam dwie możliwe wartości dziewiątej zapisanej liczby:
[tex]a_ 9 = 631 \quad lub \quad a_9 = 632[/tex]
W przypadku rozwiązywania zadań dotyczących liczb całkowitych warto korzystać z własności podzielności (oraz w szczególności rozkładu na czynniki pierwsze). Mimo, że teoretycznie mamy równanie z dwiema niewiadomymi jesteśmy w stanie rozwiązać je (z dokładnością do dwóch możliwych wyników) - korzystając z własności liczb całkowitych.
