Odpowiedź:
Pole powierzchni całkowitej stożka wynosi
[tex]\huge\boxed{P_c=(27+18\sqrt3)\pi cm^2}[/tex]
Objętość stożka wynosi
[tex]\huge\boxed{V=27\pi cm^3}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
patrz załącznik
Wzory:
Pole całkowite stożka:
[tex]P_c=\pi r^2+\pi rl[/tex]
Objętość stożka:
[tex]V=\dfrac{1}{3}\pi r^2H[/tex]
Dane:
[tex]L=6\pi\sqrt3\ cm\\l=6cm[/tex]
Z obwodu podstawy obliczymy długość promienia:
[tex]L=2\pi r[/tex]
podstawiamy [tex]L=6\pi\sqrt3\ cm[/tex]
[tex]2\pi r=6\pi\sqrt3\qquad|:2\pi\\\\r=3\sqrt3(cm)[/tex]
Promień [tex]r[/tex], wysokość [tex]H[/tex] oraz tworząca [tex]l[/tex] tworzą trójkąt prostokątny. Aby obliczyć długość wysokości skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa:
[tex]a^2+b^2=c^2[/tex]
[tex]a,b[/tex] - długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego
[tex]c[/tex] - długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego
Podstawiamy
[tex]a=3\sqrt3\ cm,\ b=H,\ c=6cm[/tex]
[tex](3\sqrt3)^2+H^2=6^2\\\\3^2\cdot(\sqrt3)^2+H^2=36\\\\9\cdot3+H^2=36\\\\27+H^2=36\qquad|-27\\\\H^2=9\to H=\sqrt9\\\\H=3(cm)[/tex]
Mamy już wszystko do obliczenia pola całkowitego i objętości:
[tex]P_c=\pi\cdot(3\sqrt3)^2+\pi\cdot3\sqrt3\cdot6=27\pi+18\pi\sqrt3=(27+18\sqrt3)\pi(cm^2)\\\\V=\dfrac{1}{3\!\!\!\!\diagup_1}\pi\cdot(3\sqrt3)^2\cdot3\!\!\!\!\diagup^1=27\pi(cm^3)[/tex]
