Odpowiedź:
a) x = 50°
b) x = 100°
c) x = 65°
d) x = 5
Szczegółowe wyjaśnienie:
Patrz załączniki.
a)
Jako, że proste k i l są równoległe, to mamy do czynienia z kątami odpowiadającymi i naprzemianległymi, które mają odpowiednio te same miary (patrz załącznik).
Stąd mamy kąt ostry przy prostej k o mierze 30°.
Wiemy, że w każdym trójkącie suma miar kątów wewnętrznych wynosi 180°.
Stąd:
x = 180° - (100° + 30°) = 180° - 130° = 50°
b)
Trójkąt na rysunku jest trójkątem równoramiennym (ramiona, to promienie okręgu). Wiemy, że kąty przy podstawie w takim trójkącie mają równe miary. Stąd drugi kąt ostry ma miarę 20°.
Suma miar kątów wewnętrznych w każdym trójkącie wynosi 180°. Stąd kąt α ma miarę:
α = 180° - 2 · 20° = 180° - 40° = 140°
Kąty 120°, 140° oraz x tworzą kąt pełny - 360°.
Stąd mamy:
x = 360° - (120° + 140°) = 360° - 260° = 100°
c)
Obliczamy brakujący kąt w trójkącie:
180° - (65° + 40°) = 180° - 105° = 75°
Budujemy trójkąt tak jak na rysunku w załączniku.
Kąt rozwarty tego trójkąta jest kątem środkowym opartym na tym samym łuku, co kąt wpisany o mierze 75°.
W związku z tym, na podstawie twierdzenia o kątach wpisanym i środkowym opartych na tym samym łuku, kąt środkowy ma miarę dwa razy większą.
Stąd:
α = 2 · 75° = 150°
Narysowany przez nas trójkąt jest trójkątem równoramiennym. Kąty przy podstawie są tej samej miary.
Stąd:
β = (180° - 130°) : 2 = 50° : 2 = 25°
Jedna z półprostych, przy której jest poszukiwany kąt x, jest styczna do okręgu. Promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej.
Stąd:
x + 25° = 90° → x = 90° - 25°
x = 65°
d)
Mamy czworokąt opisany na okręgu.
Aby można było opisać czworokąt na okręgu sumy długości przeciwległych boków muszą być równe.
Drugim twierdzeniem, które jest nam potrzebne do rozwiązania tego zadania, jest twierdzenie o odcinkach stycznych do okręgu.
Stąd mamy, że część odcinka x ma długość3.
Budujemy i rozwiązujemy równanie:
4 + (3 + x) = 6 + (2 + 3)
7 + x = 11 |-7
x = 5
