Mamy daną funkcję kwadratową f(x) = -x² oraz punkt P(0, -6).
Mamy wyznaczyć współrzędne punktów należących do paraboli takich, że ich odległość od punktu P jest najmniejsza.
Każdy punkt paraboli ma współrzędne postaci (x, -x²).
Odległość między punktami opisuje wzór:
[tex]|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}[/tex]
Czyli w naszym przypadku:
[tex]d=\sqrt{(0-x)^2+(-6-(-x^2))^2}\\\\d=\sqrt{x^2+(x^2-6)^2}\\\\d=\sqrt{x^2+x^4-12x^2+36}\\\\d=\sqrt{x^4-11x^2+36}[/tex]
Wiemy, że odległość jest liczbą dodatnia. Ma być ona najmniejsza. Pierwiastek będzie najmniejszy, gdy liczba podpierwiastkowa będzie najmniejsza.
Stąd możemy rozpatrywać funkcję postaci:
[tex]d(x)=x^4-11x^2+36[/tex]
Musimy tylko określić jej dziedzinę (musi przyjmować wartości nieujemne):
[tex]x^4-11x^2+36\geq0\\\\x^2=t\geq0\\\\t^2-11t+36\geq0\\\\\Delta=(-11)^2-4\cdot1\cdot36=121-144=-23 < 0[/tex]
Jako, że współczynnik przy t² jest dodatni, to wyrażenie przyjmuje tylko wartości dodatnie.
W związku z tym dziedziną naszej funkcji jest cały zbiór rzeczywistych.
[tex]\boxed{\mathbb{D}:x\in\mathbb{R}}[/tex]
Obliczamy pochodną funkcji d(x) korzystając ze wzorów:
[tex]\left(f(x)+g(x)\right)'=f'(x)+g'(x)\\\\\left(ax^n\right)'=nax^{n-1}[/tex]
[tex]d'(x)=(x^2-11x^2+36)'=4x^3-22x[/tex]
Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum jest, aby pochodna była równa 0:
[tex]d'(x)=0\iff4x^3-22x=0\qquad|:2\\\\2x^3-11x=0\\\\x(2x^2-11)=0\iff x=0\ \vee\ 2x^2-11=0\\\\x=0\ \vee\ x=-\sqrt{\dfrac{11}{2}}\ \vee\ x=\sqrt{\dfrac{11}{2}}\\\\x=0\ \vee\ x=-\dfrac{\sqrt{22}}{2}\ \vee\ x=\dfrac{\sqrt{22}}{2}[/tex]
Mamy 3 wartości x podejrzane o ekstremum.
Sprawdzamy warunek wystarczający:
[tex]d'(x) < 0\iff4x^3-22x < 0\\\\x\left(x-\dfrac{\sqrt{22}}{2}\right)\left(x+\dfrac{\sqrt{22}}{2}\right) < 0[/tex]
[tex]d'(x) > 0\iff4x^3-22x > 0\\\\x\left(x-\dfrac{\sqrt{22}}{2}\right)\left(x+\dfrac{\sqrt{22}}{2}\right) > 0[/tex]
Kreślimy falę znaków. Bierzemy jakąś liczbę z lewej strony (np. -100) i podstawiamy z x patrząc jaką wartość, co do znaku, otrzymujemy w poszczególnych czynnikach. W naszym przypadku będzie (-)(-)(-). Co daje w iloczynie liczbę ujemną. Wykres zaczynamy rysować od dołu. Nie ma krotności pierwiastków, więc wykres przechodzi przez wszystkie pierwiastki (przy parzystej krotności wykres się odbija).
Odczytujemy rozwiązanie:
[tex]d'(x) < 0\iff x\in\left(-\infty,-\dfrac{\sqrt{22}}{2}\right)\ \cup\ \left(0,\dfrac{\sqrt{22}}{2}\right)\\\\d'(x) > 0\iff x\in\left(-\dfrac{\sqrt{22}}{2},0\right)\ \cup\ \left(\dfrac{\sqrt{22}}{2},\infty\right)[/tex]
Pochodna zmienia znak w tych punktach, czyli funkcja osiąga ekstrema lokalne:
[tex]y_{min}\ \text{dla}\ x=-\dfrac{\sqrt{22}}{2}\ \text{i}\ x=\dfrac{\sqrt{22}}{2}\\\\y_{max}\ \text{dla}\ x=0[/tex]
Obliczamy wartość wartości minimalnej:
[tex]x=-\dfrac{\sqrt{22}}{2}\to y=-\left(-\dfrac{\sqrt{22}}{2}\right)^2=-\dfrac{22}{4}=-\dfrac{11}{2}\\\\x=\dfrac{\sqrt{22}}{2}\to y=-\left(\dfrac{\sqrt{22}}{2}\right)^2=-\dfrac{22}{4}=-\dfrac{11}{2}[/tex]
Współrzędne szukanych punktów to:
[tex]\huge\boxed{\left(-\dfrac{\sqrt{22}}{2},-\dfrac{11}{2}\right)\ \text{i}\ \left(\dfrac{\sqrt{22}}{2},-\dfrac{11}{2}\right)}[/tex]
