Mamy dane równanie:
[tex](x^2-3x+1)+(x^2-3x+1)^2+(x^2-3x+1)^3+...=\dfrac{4}{5}[/tex]
Lewa strona tworzy szereg geometryczny, gdzie:
[tex]a_1=(x^2-3x+1)\ \wedge\ q=(x^2-3x+1)[/tex]
Aby obliczyć sumę po lewej stronę równania, dany szereg geometryczny musi być zbieżny.
Szereg geometryczny jest zbieżny, gdy |q| < 1.
Zatem musimy nałożyć dziedzinę równania, aby miało możliwe rozwiązanie.
[tex]|x^2-3x+1| < 1\iff x^2-3x+1 < 1\ \wedge\ x^2-3x+1 > -1\\\\x^2-3x < 0\ \wedge\ x^2-3x+2 > 0[/tex]
Zajmijmy się osobno otrzymanymi nierównościami.
[tex](1)\\x^2-3x < 0\\\\x(x-3) < 0\\\\x=0,\ x=3\\\\\boxed{x\in(0,\ 3)}[/tex]
[tex](2)\\x^2-3x+2 > 0\\\\x^2-x-2x+2 > 0\\\\x(x-1)-2(x-1) > 0\\\\(x-1)(x-2) > 0\\\\x=1,\ x=2\\\\\boxed{x\in(-\infty,\ 1)\ \cup\ (2,\ \infty)}[/tex]
Rozwiązanie odczytujemy z rysunku poglądowego. Współczynniki przy x² jest dodatni. W związku z tym ramiona parabol są skierowane w górę.
Teraz znajdujemy część wspólną, która określa dziedzinę równania:
[tex]\boxed{\mathbb{D}:x\in(0,\ 1)\ \cup\ (2,\ 3)}[/tex]
Po określeniu dziedziny, przechodzimy do równania.
Gdy szereg geometryczny jest zbieżny, wówczas posiada granicę:
[tex]S=\lim\limits_{n\to\infty} S_n=\dfrac{a_1}{1-q}[/tex]
Podstawiamy:
[tex]S=\dfrac{x^2-3x+1}{1-(x^2-3x+1)}=\dfrac{x^2-3x+1}{1-x^2+3x-1}=\dfrac{x^2-3x+1}{-x^2+3x}[/tex]
Zatem nasze równanie otrzymuje postać proporcji:
[tex]\dfrac{x^2-3x+1}{-x^2+3x}=\dfrac{4}{5}[/tex]
którą rozwiązujemy mnożąc na krzyż:
[tex]5(x^2-3x+1)=4(-x^2+3x)\\\\5x^2-15x+5=-4x^2+12x\qquad|+4x^2-12x\\\\9x^2-27x+5=0[/tex]
Równanie rozwiążemy za pomocą wyróżnika trójmianu kwadratowego Δ:
[tex]a=9,\ b=-27,\ c=5\\\\\Delta=b^2-4ac\to\Delta=(-27)^2-4\cdot9\cdot5=549\\\\\sqrt\Delta=\sqrt{549}=\sqrt{9\cdot61}=3\sqrt{61}\\\\x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}\\\\x_1=\dfrac{-(-27)-3\sqrt{61}}{2\cdot9}=\dfrac{27-3\sqrt{61}}{18}=\dfrac{9-\sqrt{61}}{6}\\\\x_2=\dfrac{-(-27)+3\sqrt{61}}{2\cdot9}=\dfrac{27+3\sqrt{61}}{18}=\dfrac{9+\sqrt{61}}{6}[/tex]
Sprawdzamy, czy wartości x należą do naszej dziedziny. Musimy wykonać przybliżenia:
[tex]x_1\approx0,198\in\mathbb{D}\\\\x_2\approx2,802\in\mathbb{D}[/tex]
[tex]\huge\boxed{x=\dfrac{9-\sqrt{61}}{6}\ \vee\ x=\dfrac{9+\sqrt{61}}{6}}[/tex]
