Odpowiedź:
[tex]$x \in \langle -4,3 \rangle[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Funkcja:
[tex]$f(x)=\frac{x-2}{x}[/tex]
[tex]D_{f}:x \in \mathbb{R} \ \text{\textbackslash} \{0\}[/tex]
Najpierw policzymy sobie [tex]$f\Big(\frac{1}{x+1} \Big)[/tex], czyli po prostu wstawiamy za [tex]x[/tex] wyrażenie [tex]$\frac{1}{x+1}[/tex]. Mamy:
[tex]$f\Big(\frac{1}{x+1} \Big)=\frac{\frac{1}{x+1}-2}{\frac{1}{x+1}} =\frac{\frac{1}{x+1}-\frac{2(x+1)}{x+1} }{\frac{1}{x+1} } =\frac{1-2(x+1)}{x+1} \cdot (x+1)=-2x-1[/tex]
Zatem nierówność jest następująca:
[tex]$\Big|\Big|f\Big(\frac{1}{x+1}\Big)\Big|-3\Big|\leq 4 \iff ||-2x-1|-3|\leq 4[/tex]
Aby ułatwić sobie życie, skorzystamy z faktu, że [tex]|x|=|-x|[/tex]. Wtedy:
[tex]|-2x-1|=|-(-2x-1)|=|2x+1|[/tex]
Nierówność wygląda teraz tak:
[tex]||2x+1|-3|\leq 4[/tex]
Rozwiązujemy ją:
[tex]|2x+1|-3\leq 4 \wedge |2x+1|-3\geq -4[/tex]
[tex]|2x+1|\leq 7 \wedge |2x+1|\geq -1[/tex]
Zauważmy, że druga nierówność (ta po prawej stronie) jest zawsze prawdziwa, bo wartość bezwzględna dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemna. Tak więc wystarczy, że rozwiążemy nierówność po lewej:
[tex]|2x+1|\leq 7[/tex]
[tex]2x+1\leq 7 \wedge 2x+1\geq -7[/tex]
[tex]2x\leq 6 \wedge 2x\geq -8[/tex]
[tex]x\leq 3 \wedge x\geq -4[/tex]
Ostatecznie:
[tex]$x \in \langle -4,3 \rangle[/tex]
