Zadanie 1.
Przedstawimy wszystkie liczby jako potęgi 2.
[tex]a=\frac{\sqrt[4]{32}}{2}=\frac{\sqrt[4]{2^5}}{2}=\frac{2^\frac{5}{4}}{2}=2^{1\frac{1}{4}-1}=2^{\frac{1}{4}}\\b=\frac{1}{2\sqrt[4]4}=\frac{1}{2\sqrt[4]{2^2}}=\frac{1}{2*2^\frac{2}{4}}=\frac{1}{2^{1\frac{1}{2}}}=2^{-1\frac{1}{2}}\\c=\sqrt[4]4=\sqrt[4]{2^2}=2^\frac{2}{4}=2^\frac{1}{2}\\d=\frac{4}{\sqrt[4]8}=\frac{2^2}{\sqrt[4]{2^3}}=\frac{2^2}{2^{\frac{3}{4}}}=2^{2-\frac{3}{4}}=2^{1\frac{1}{4}}[/tex]
Zatem liczby te po uporządkowaniu rosnąco to
[tex]b,a,c,d[/tex]
Uwaga: Użyłem następujących wzorów:
[tex]\sqrt[m]{a^n}=a^{\frac{n}{m}}\\\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}\\a^n*a^m=a^{n+m}\\\frac{1}{a^n}=a^{-n}[/tex]
Zadanie 3.
Aby liczbę a za pomocą liczb p i q, należy przedstawić liczbę logarytmowaną za pomocą 2 lub 5, ewentualnie 3, bo 3 jest w podstawie logarytmu.
[tex]a=\log_30,4\sqrt8=\log_3(\frac{4}{10}*\sqrt{2^3})=\log_3(\frac{2}{5}*2^{\frac{3}{2}})=\log_3\frac{2*2^{\frac{3}{2}}}{5}=\log_3\frac{2^{\frac{5}{2}}}{5}=\\=\log_32^{\frac{5}{2}}-\log_35=\frac{5}{2}p-q[/tex]
Uwaga: Użyłem następujących wzorów:
[tex]\sqrt[m]{a^n}=a^{\frac{n}{m}}\\a^n*a^m=a^{n+m}\\\log_a\frac{b}{c}=\log_ab-\log_ac\\\log_ab^r=r\log_ab[/tex]
Zadanie 6.
[tex]\log_{27}\sqrt{32}=\frac{\log_3\sqrt{32}}{\log_327}=\frac{\log_3\sqrt{2^5}}{\log_33^3}=\frac{\log_32^\frac{5}{2}}{3\log_33}=\frac{\frac{5}{2}\log_32}{3}=\frac{5}{2}p*\frac{1}{3}=\frac{5}{6}p[/tex]
Uwaga: Użyłem następujących wzorów:
[tex]\sqrt[m]{a^n}=a^{\frac{n}{m}}\\\log_xy=\frac{\log_ay}{\log_ax}\\\log_ab^r=r\log_ab[/tex]
Zadanie 7.
[tex]\log_94,8=\frac{\log_3\frac{48}{10}}{\log_39}=\frac{\log_3\frac{24}{5}}{2}=\frac{\log_324-\log_35}{2}=\frac{\log_3(3*8)-\log_35}{2}=\frac{\log_3(3*2^3)-\log_35}{2}=\\=\frac{\log_33+\log_3(2^2)^\frac{3}{2}-\log_35}{2}=\frac{1+\frac{3}{2}\log_34-\log_35}{2}=\frac{1+\frac{3}{2}a-b}{2}[/tex]
Uwaga: Użyłem następujących wzorów:
[tex]\log_xy=\frac{\log_ay}{\log_ax}\\\log_a\frac{b}{c}=\log_ab-\log_ac\\\log_a(bc)=\log_ab+\log_ac\\\log_ab^r=r\log_ab[/tex]
Zadanie 9.
[tex]\log_312=\log_3(3*2^2)=\log_33+\log_32^2=1+2\log_32\\1+2\log_32=c\\2\log_32=c-1\ |:2\\\log_32=\frac{c-1}{2}\\\log_29=\log_23^2=2\log_23=2*\frac{1}{\log_32}=\frac{2}{\frac{c-1}{2}}=2*\frac{2}{c-1}=\frac{4}{c-1}[/tex]
Uwaga: Użyłem następujących wzorów:
[tex]\log_a(bc)=\log_ab+\log_ac\\\log_ab^r=r\log_ab\\\log_ab=\frac{1}{\log_ba}[/tex]
