Odpowiedź:
[tex]\frac{sin(\alpha +\beta )-sin(\alpha -\beta )}{cos(\alpha +\beta )-cos(\alpha -\beta )} =-ctg\alpha[/tex]
1.
Dziedzina danego wyrażenia :
[tex]D=\{x \in R : cos(\alpha +\beta )-cos(\alpha -\beta )\neq 0\}[/tex]
[tex]cos(\alpha +\beta )-cos(\alpha -\beta )= 0[/tex]
[tex]cos\alpha cos\beta -sin\alpha sin\beta= cos\alpha cos\beta +sin\alpha sin\beta[/tex]
[tex]2sin\alpha sin\beta =0[/tex]
[tex]sin\alpha =0[/tex] lub [tex]sin\beta =0[/tex]
[tex]\alpha =k\pi[/tex] lub [tex]\beta =k\pi[/tex]
Czyli : [tex]\alpha ,\beta \neq k\pi , k \in Z[/tex]
2.
Sprawdzamy czy jest to tożsamość trygonometryczna :
[tex]P=\frac{sin(\alpha +\beta )-sin(\alpha -\beta )}{cos(\alpha +\beta )-cos(\alpha -\beta )} = \frac{sin\alpha cos\beta +cos\alpha sin\beta -(sin\alpha cos\beta -cos\alpha sin\beta )}{cos\alpha cos\beta -sin\alpha sin\beta-(cos\alpha cos\beta +sin\alpha sin\beta )} =\frac{2cos\alpha sin\beta }{-2sin\alpha sin\beta }[/tex]
[tex]=-\frac{cos\alpha sin\beta }{sin\alpha sin\beta }=-ctg\alpha \cdot1=-ctg\alpha=L[/tex]
Czyli jest to tożsamość trygonometryczna.