Odpowiedź:
Szczegółowe wyjaśnienie:
(a+b)/2 ≥ √ab / mnożymy obustronnie przez 2, by się pozbyć ułamka
a+b ≥ 2√ab / podnosimy obie strony do kwadratu, by się pozbyć pierwiastka
(a+b)² ≥ (2√ab)²
a² + 2ab + b² ≥ 4ab / przenosimy 4ab na lewą stronę nierówności
a² + 2ab + b² - 4ab ≥ 0
a² -2ab +b² ≥ 0
Po lewej stronie mamy w tej chwil rozwinięcie jednego ze wzorów skróconego mnożenia, który zresztą na pewno dobrze znasz:
(a-b)² = a² - 2ab + b²
Zapiszmy zatem lewą stronę nierówności w "zwiniętej" postaci:
(a-b)² ≥ 0
W tym momencie wykazaliśmy prawdziwość "wyjściowej" nierówności. Po lewej stronie mamy bowiem kwadrat różnicy dwóch wyrażeń: "a" i "b". Na pewno wiesz, że kwadrat każdej liczby (dodatniej lub ujemnej) jest liczbą większą od zera. Nie mam więc znaczenia, ile będzie wynosiło "a" czy "b" i czy różnica pomiędzy nimi będzie dodatnia czy ujemna, ponieważ kiedy podniesiemy tą różnicę do kwadratu, to i tak otrzymamy liczbę dodatnią, czyli większą od zera. Samo 0 jest oczywiście wyjątkiem, bo 0 do kwadratu daje 0, ale to też się zgadza z tym zadaniem, bo nierówność w zadaniu jest nieostra, mówi o tym, że: "kwadrat różnicy wyrażeń "a" i "b" jest większy (dla dowolnego dodatniego lub ujemnego wyniku tego odejmowania) lub równy (dla 0) zeru" Co wykazaliśmy!