Odpowiedź:
Wystarczy wykazać, że q1 = a2/a1 = q2 = a3/a2 z wyżej wyprowadzonego wzoru rekurencyjnego:
q = a2/a1 = a3/a2 = a4/a3 = a5/ a4 = ..., = a(n + 1)/an to
q = a(n + 1)/an - wzór rekurencyjny.
q1 = a2/a1 = 2/97,98978614 = 0,02041029
q2 = a3/a2 =0,040820577/2 = 0,020410288, co należało wykazać.
.........Oszacowanie błędu: Δq = 0,000000002
[Niedokładność, zaokrąglenie (na 9-tym miejcu po przecinku) wynika z
tego, że q2 obliczono w jednym ciągu działań: {(√6 - 2)²}²/2 a dla q1
obliczano najpierw sumę z pierwiastków (z kalkulatora
matematycznego)].
Szczegółowe wyjaśnienie:
W ciągu geometrycznym każdy następny wyraz powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez stały iloraz q, utworzymy
kilka wyrazów ciągu:
a1 = a1
a2 = (a1)•q
a3 = (a1)•q•q = (a1)•q²
a4 = (a1)•q²•q = (a1)•q³
a5 = (a1)•q³•q = (a1)•q⁴, ...z tych kilku wyrazów ciągu możemy już napisać
_________________ zależność na ogólny wyraz ogólny ciągu:
an = (a1)•q^(n-1),
an = a1 razy q do potęgi (n-1), a z tej zależności na an możemy sobie ułożyć jakieś równania (układ równań) czytając treść zadania
Jeżeli każdy następny wyraz powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez iloraz q - to iloraz q możemy obliczyć dzieląc dowolny wyraz nastpny przez wyraz poprzedni:
q = a2/a1 = a3/a2 = a4/a3 = a5/ a4 = ..., = a(n + 1)/an to
q = a(n + 1)/an - wzór rekurencyjny.
Zadanie 13
Wykaż, że dla dowolnego n ∈ N+ [(√3 + √2)^4n; 2^n; (√6 - 2)^4n]jest ciągiem grometrycznym.
Wystarczy wykazać, że q1 = a2/a1 = q2 = a3/a2 z wyżej wyprowadzonego wzoru rekurencyjnego:
q = a2/a1 = a3/a2 = a4/a3 = a5/ a4 = ..., = a(n + 1)/an to
q = a(n + 1)/an - wzór rekurencyjny.
n = 1 to [(√3 + √2)⁴; 2¹ ; (√6 - 2)⁴] =
= [(1,732050808 + 1,414213562)⁴; 2; (2,449489743 - 2)⁴] =
= [(3,14626437)⁴; 2; (0,449489742)⁴] =
= 97,98978614; 2; 0,040820577 to
q1 = a2/a1 = 2/97,98978614 = 0,02041029
q2 = a3/a2 =0,040820577/2 = 0,020410288, co należało wykazać.
.........Oszacowanie błędu: Δq = 0,000000002
[Niedokładność, zaokrąglenie (na 9-tym miejcu po przecinku) wynika z
tego, że q2 obliczono w jednym ciągu działań: {(√6 - 2)²}²/2 a dla q1
obliczano najpierw sumę z pierwiastków (z kalkulatora
matematycznego)].
