[tex]f(x)=\dfrac{x+1}{|x|-1}[/tex]
[tex]|x|-1\ne0\\|x|\ne1\\x\ne1\quad\lor\quad x\ne-1\\\\D=\mathbb R\,/\,\{-1,\,1\}[/tex]
Wartość bezwzględną liczby rzeczywistej można przedstawić w następujący sposób:
[tex]|x| = \begin{cases} x & \text{dla } x \geqslant 0 \\ -x & \text{dla } x < 0 \end{cases}[/tex]
Oznacza to, że dla argumentów nieujemnych, funkcja przyjmie inną postać niż w przypadku argumentów ujemnych.
[tex]\text{Dla }x\geqslant0\quad\land\quad x\ne1\\\\f(x)=\dfrac{x+1}{x-1}=\dfrac{x-1+2}{x-1}=\dfrac{x-1}{x-1}+\dfrac{2}{x-1}=1+\dfrac{2}{x-1}[/tex]
W tym przedziale można zauważyć, że jest to funkcja [tex]y=\dfrac{2}{x}[/tex] przesunięta o wektor [tex]\vec{v}=[1,\,1][/tex]. Oznacza to, że asymptota tej funkcji ma równanie [tex]x=1[/tex].
[tex]\text{Dla }x < 0\quad\land\quad x\ne-1\\\\f(x)=\dfrac{x+1}{-x-1}=\dfrac{x+1}{-(x+1)}=\dfrac{1}{-1}=-1[/tex]
W przedziale, w którym argumenty są ujemne funkcja jest stała. Pamiętajmy jednak o dziedzinie; dla argumentu x = –1 funkcja nie osiąga żadnej wartości.
Naszą funkcję możemy zatem zapisać w następujący sposób:
[tex]f(x) = \begin{cases} -1 & \text{dla } x \in(-\infty,-1)\cup(-1,0)\\ \dfrac{2}{x-1}+1 & \text{dla } x\in(0,1)\cup(1,\infty) \end{cases}[/tex]
Wykres w załączniku.
