Stereometria - objętości ostrosłupa i graniastosłupa.
ZAD.1.
- Konstruujemy rysunek (poniżej - po lewej).
- Skoro przekątna (kwadratu w podstawie) ma długość [tex]\sqrt 6[/tex] to bok tego kwadratu ma długość [tex]\frac{\sqrt 6}{\sqrt 2} = \sqrt3 =a[/tex]
- Zaś wysokość graniastosłupa jest równa:
[tex]h = \sqrt6 \cdot \tan 30^\circ = \frac{\sqrt6}{\sqrt3} = \sqrt2[/tex] - Stąd jego objętość to:
[tex]V = a^2 h = (\sqrt3)^2 \sqrt2 = 3\sqrt2[/tex]
ZAD.2.
- Konstruujemy rysunek (poniżej - po prawej). Jako "przekątną ostrosłupa [...] nachyloną do podstawy pod kątem [...]" rozumiem: jego krawędź boczną.
- Analogicznie - w podstawie ostrosłupa jest kwadrat o boku:
[tex]a = \frac{4}{\sqrt2} = 2\sqrt2[/tex] - Zaś wysokość ostrosłupa jest równa (tworzy trójkąt prostokątny z połową przekątnej podstawy i krawędzią boczną ostrosłupa):
[tex]h = \frac{a}{2} \tan 30^\circ = \frac{2\sqrt2}{2} \frac{1}{\sqrt3} = \frac{\sqrt2}{\sqrt3}[/tex] - Stąd objętość ostrosłupa:
[tex]V = \frac{1}{3} a^2 h = \frac{1}{3} (2\sqrt2)^2 \frac{\sqrt2}{\sqrt3} = \frac{8\sqrt2}{3\sqrt3} = \frac{8\sqrt6}{9}[/tex]
Dwukrotnie korzystamy z faktu, że dla kwadratu o boku długości [tex]x[/tex] jego przekątna jest równa [tex]x \sqrt2[/tex], co wynika z twierdzenia Pitagorasa.
