Planimetria. Okrąg wpisany i okrąg opisany na trójkącie prostokątnym.
Okrąg opisany na trójkącie, to okrąg, który zawiera wszystkie wierzchołki trójkąta.
Okrąg wpisany w trójkąt, to okrąg, który jest styczny do wszystkich boków trójkąta.
Na każdym trójkącie można opisać okrąg. Jego środek wyznacza punkt przecięcia symetralnych boków. Promieniem jest odległość od środka okręgu do jednego z wierzchołków.
W każdy trójkąt można wpisać okrąg. Jego środek wyznacza punkt przecięcia dwusiecznych kątów. Promień jest to odległość od środka okręgu do jednego z boków.
Mamy do obliczenia odległość między środkami okręgów wpisanego i opisanego na trójkącie prostokątnym równoramiennym.
Wykonujemy rysunek poglądowy.
Jak widzimy na załączonym rysunku, środki okręgów są oddalone o długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt.
Długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny obliczamy ze wzoru:
[tex]r=\dfrac{a+b-c}{2}[/tex]
gdzie
[tex]a, b[/tex] - długości przyprostokątnych
[tex]c[/tex] - długość przeciwprostokątnej
Obliczamy brakującą długość przeciwprostokątnej korzystając albo z twierdzenia Pitagorasa albo z ego, że przeciwprostokątna c trójkąta prostokątnego równoramiennego o boku a wyraża się wzorem:
[tex]c=a\sqrt2[/tex]
[tex]a=\sqrt8=\sqrt{4\cdot2}=2\sqrt2\\\\c=2\sqrt2\cdot\sqrt2\\\\\boxed{c=4}[/tex]
Podstawiamy do wzoru:
[tex]r=\dfrac{2\sqrt2+2\sqrt2-4}{2}=\dfrac{4\sqrt2-4}{2}=2\sqrt2-2[/tex]
Odp:
[tex]\huge\boxed{\boxed{|O_1O_2|=2\sqrt2-2}}[/tex]
