Planimetria. Twierdzenie cosinusów.
Mamy dane długości boków trójkąta: 1, 3 i √13. Do obliczenia mamy miary kątów tego trójkąta.
Do obliczenia miary dwóch kątów skorzystamy z twierdzenia cosinusów:
[tex]a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha[/tex]
Obliczamy miarę kąta α:
[tex]1^2=3^2+(\sqrt{13})^2-2\cdot3\cdot\sqrt{13}\cdot\cos\alpha\\\\1=9+13-6\sqrt{13}\cos\alpha\\\\1=22-6\sqrt{13}\cos\alpha\qquad|-22\\\\-21=-6\sqrt{13}\cos\alpha\qquad|\cdot(-\sqrt{13})\\\\6\cdot13\cos\alpha=21\sqrt{13}\\\\78\cos\alpha=21\sqrt{13}\qquad|:78\\\\\cos\alpha=\dfrac{21\sqrt{13}}{78}\\\\\cos\alpha=\dfrac{7\sqrt{13}}{26}[/tex]
Robimy przybliżenie wartości cosinusa i z tablic wartości cosinusów odczytujemy miarę kąta.
[tex]\dfrac{7\sqrt{13}}{26}\approx0,9707[/tex]
stąd:
[tex]\huge\boxed{\alpha\approx13^o}[/tex]
Obliczamy miarę kąta β:
[tex]3^2=1^2+(\sqrt{13})^2-2\cdot1\cdot\sqrt{13}\cdot\cos\beta\\\\9=1+13-2\sqrt{13}\cos\beta\\\\9=14-2\sqrt{13}\cos\beta\qquad|-14\\\\-5=-2\sqrt{13}\cos\beta\qquad|\cdot(-\sqrt{13})\\\\5\sqrt{13}=2\cdot13\cos\beta\\\\26\cos\beta=5\sqrt{13}\qquad|:26\\\\\cos\beta=\dfrac{5\sqrt{13}}{26}[/tex]
Podobnie jak poprzednio robimy przybliżenie i odczytujemy wartość kąta:
[tex]\dfrac{5\sqrt{13}}{26}\approx0,6934[/tex]
stąd:
[tex]\huge\boxed{\beta\approx46^o}[/tex]
Miarę kąta γ obliczymy, korzystając z tego, że suma miar kątów wewnętrznych w każdym trójkącie wynosi 180°.
[tex]\gamma=180^o-(13^o+46^o)\\\\\huge\boxed{\gamma=121^o}[/tex]
