Rozwiązanie:
Równanie:
[tex]$\cos^{2}\Big(\frac{\pi}{2}+x\Big)+2\cos^{2}x=\frac{5}{4}[/tex]
Najpierw zauważmy, że:
[tex]$\cos \Big(\frac{\pi}{2}+x\Big)=-\sin x[/tex]
Zatem:
[tex]$(-\sin x)^{2}+2\cos^{2}x=\frac{5}{4}[/tex]
[tex]$\sin^{2}x+2\cos^{2}x=\frac{5}{4}[/tex]
Teraz pora na sztuczkę z rozbiciem, aby otrzymać jedynkę trygonometryczną:
[tex]$\sin^{2}x + \cos^{2}x+\cos^{2}x=\frac{5}{4}[/tex]
[tex]$1+\cos^{2}x=\frac{5}{4}[/tex]
[tex]$\cos^{2}x-\frac{1}{4}=0[/tex]
Co my tutaj mamy? Wzór skróconego mnożenia:
[tex]$\Big(\cos x-\frac{1}{2} \Big)\Big(\cos x+\frac{1}{2} \Big)=0[/tex]
[tex]$\cos x=-\frac{1}{2} \vee \cos x=\frac{1}{2}[/tex]
[tex]$x=-\frac{2\pi}{3}+2k\pi \vee x = \frac{2\pi}{3} +2k\pi \vee x = -\frac{\pi}{3}+2k\pi \vee x =\frac{\pi}{3}+2k\pi[/tex]
[tex]k \in \mathbb{Z}[/tex]