Funkcje trygonometryczne.
1. Do obliczenia mamy wartość wyrażenia
[tex]\dfrac{\cos\alpha-\text{tg}\alpha}{\sin^2\alpha}[/tex]
wiedząc, że
[tex]\alpha\in(90^o,\ 180^o)\ \wedge\ \text{tg}^2\alpha=\dfrac{2}{3}\to\text{tg}\alpha=-\sqrt{\dfrac{2}{3}}=-\dfrac{\sqrt2}{\sqrt3}\cdot\dfrac{\sqrt3}{\sqrt3}=-\dfrac{\sqrt6}{3}[/tex].
Jako, że kąt znajduje się w drugiej ćwiartce, to wszystkie funkcje za wyjątkiem sinusa przyjmują wartości ujemne.
Skorzystamy z dwóch tożsamości trygonometrycznych:
[tex]\text{tg}x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\\\\\sin^2x+\cos^2x=1[/tex]
Otrzymujemy układ równań:
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}\dfrac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\dfrac{2}{3}\\\\\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\end{array}\right\\\\\left\{\begin{array}{ccc}3\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha&|:3\\\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\end{array}\right\\\left\{\begin{array}{ccc}\sin^2\alpha=\dfrac{2}{3}\cos^2\alpha&(1)\\\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1&(2)\end{array}\right[/tex]
Podstawiamy (1) do (2):
[tex]\dfrac{2}{3}\cos^2\alpha+\cos^2\alpha=1\\\\\dfrac{5}{3}\cos^2\alpha=1\qquad|\cdot\dfrac{3}{5}\\\\\cos^2\alpha=\dfrac{3}{5}\Rightarrow\cos\alpha=\pm\sqrt{\dfrac{3}{5}}\\\\\cos\alpha=\pm\dfrac{\sqrt3}{\sqrt5}\cdot\dfrac{\sqrt5}{\sqrt5}\\\\\cos\alpha=\pm\dfrac{\sqrt{15}}{5}[/tex]
[tex]\boxed{\cos\alpha=-\dfrac{\sqrt{15}}{5}}[/tex]
Podstawiamy do (1):
[tex]\sin^2\alpha=\dfrac{2}{3}\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{15}}{5}\right)^2\\\\\sin^2\alpha=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{15}{25}\\\\\sin^2\alpha=\dfrac{2}{5}\Rightarrow\sin\alpha=\pm\sqrt{\dfrac{2}{5}}\\\\\sin\alpha=\pm\dfrac{\sqrt2}{\sqrt5}\cdot\dfrac{\sqrt5}{\sqrt5}\\\\\sin\alpha=\pm\dfrac{\sqrt{10}}{5}\\\\\boxed{\sin\alpha=\dfrac{\sqrt{10}}{5}}[/tex]
Podstawiamy do wyrażenia:
[tex]\dfrac{\cos\alpha-\text{tg}\alpha}{\sin^2\alpha}=\dfrac{-\frac{\sqrt{15}}{5}-\frac{\sqrt6}{3}}{\left(\frac{\sqrt{10}}{5}\right)^2}=-\left(\dfrac{\sqrt{15}}{5}+\dfrac{\sqrt6}{3}\right):\dfrac{2}{5}=-\dfrac{3\sqrt{15}+5\sqrt6}{15}\cdot\dfrac{5}{2}\\\\\huge\boxed{\dfrac{\cos\alpha-\text{tg}\alpha}{\sin^2\alpha}=-\dfrac{3\sqrt{15}+5\sqrt6}{6}}[/tex]
2. Definicje funkcji trygonometrycznych w układzie współrzędnych mamy w załączniku.
Mamy dany
[tex]\cos\alpha=-\dfrac{2}{3}[/tex]
oraz, że kąt α jest kątem wypukłym.
Jako, że cosinus tego kąta jest ujemny, to końcowe ramię musi znajdować się w drugiej ćwiartce układu współrzędnych (x < 0 i y > 0).
Szukamy wartości m, tak aby punkt A(m, 5) leżał na ramieniu końcowym kąta α. Oczywiście m < 0 (druga ćwiartka).
Na początku określmy r:
[tex]r=\sqrt{m^2+5^2}=\sqrt{m^2+25}[/tex]
Z definicji funkcji cosinus mamy:
[tex]\cos\alpha=\dfrac{m}{\sqrt{m^2+25}}[/tex]
Otrzymujemy równanie:
[tex]\dfrac{m}{\sqrt{m^2+25}}=-\dfrac{2}{3}\Rightarrow-3m=2\sqrt{m^2+25}\qquad|()^2\\\\9m^2=4(m^2+25)\\\\9m^2=4m^2+100\qquad|-4m^2\\\\5m^2=100\qquad|:5\\\\m^2=20\Rightarrow m=\pm\sqrt{20}\\\\m=\pm\sqrt{4\cdot5}\\\\m=\pm\sqrt4\cdot\sqrt5\\\\m=\pm2\sqrt5[/tex]
Bierzemy tylko wartość ujemną.
[tex]\huge\boxed{m=-2\sqrt5}[/tex]
