Odpowiedź B jest prawidłowa.
Zadanie dotyczy działu funkcja wykładnicza.
Należy podać wartość współczynnika a, jeśli wiadomo, że do wykresu funkcji wykładniczej o wzorze [tex]f(x) = a^x[/tex] należy punkt [tex]M = (4, \frac{1}{4})[/tex].
Prawidłowe odpowiedzi: Odpowiedź B oraz Odpowiedź C.
Obliczenia podano poniżej.
Przypomnijmy, że jeżeli mamy punkt o współrzędnych [tex]M = (x, y)[/tex] to jeśli należy od do wykresu funkcji [tex]y = a^x[/tex] to znaczy, że wykres przechodzi przez ten punkt.
Dane z zadania:
[tex]M = (x, y) = (4, \frac{1}{4}) \rightarrow x = 4, y = \frac{1}{4}[/tex]
[tex]f(x) = y = a^x \ \ , \ \ a > 0[/tex]
Podstawiamy dane i otrzymujemy:
[tex]\frac{1}{4} = a^4[/tex]
Pierwszy sposób:
Wyliczamy współczynnik 'a':
[tex]a^4 = \cfrac{1}{4} \ | \ \sqrt[4] \\\\\\a = \sqrt[4]{\cfrac{1}{4}}=\sqrt[4]{\cfrac{1}{(\sqrt{2})^4}} = \cfrac{1}{\sqrt{2}}= \cfrac{\sqrt{2}}{2}[/tex]
Skorzystaliśmy z tego, że:
[tex](\sqrt{2})^4 = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{4} = 2 \cdot 2 = 4[/tex]
Wniosek: Odpowiedź B jest prawidłowa.
Drugi sposób:
Możemy też podstawić każdą z odpowiedzi i sprawdzić kiedy lewa strona równania wynosi tyle samo co prawa strona równania. Wtedy ta liczba jest rozwiązaniem zadania:
a)
[tex]a = \sqrt{2}[/tex]
Podstawiamy:
[tex]\frac{1}{4} = (\sqrt{2})^4[/tex]
[tex]\frac{1}{4} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{4} = 2 \cdot 2 = 4[/tex]
[tex]\frac{1}{4} \neq 4 \rightarrow L\neq P[/tex]
b)
[tex]a = \frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]
[tex]\frac{1}{4} = (\frac{\sqrt{2}}{2} )^4[/tex]
[tex]\frac{1}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2\cdot2}{4 \cdot 4} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}[/tex]
TAK!
[tex]L = P[/tex]
c) i d) a < 0 ⇒ warianty nie spełniają tego założenia
