Odpowiedź :
Mamy określić własności funkcji [tex]f(x) = - x^2 - 5x - 4[/tex].
Określimy, dziedzinę funkcji:
[tex]D=R[/tex]
Dziedzina to liczby rzeczywiste, ponieważ istnieje, dla każdego x.
Obliczmy miejsca zerowe:
[tex]- x^2 - 5x - 4=0[/tex]
[tex]\Delta=b^2-4ac=25-(4*-1*-4)=25-16=9[/tex]
[tex]\sqrt{\Delta} =3[/tex]
[tex]x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta} }{2a} =\frac{5-3}{-2} =-1[/tex]
[tex]x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta} }{2a}=\frac{5+3}{-2} =-4[/tex]
Obliczmy współrzędne wierzchołka funkcji:
[tex]p=\frac{-b}{2a} =\frac{5}{-2}=-\frac{5}{2}[/tex]
[tex]q=\frac{-\Delta}{4a} =\frac{-9}{-4} =\frac{9}{4}[/tex]
[tex]W(-\frac{5}{2},\frac{9}{4} )[/tex]
Współczynnik kierunkowy funkcji [tex]a=-1 < 0[/tex] , więc ramiona paraboli są skierowane w dół.
Więc możemy obliczyć zbiór wartości:
[tex]ZW=(-\infty,\frac{9}{4} )[/tex]
Nasza postać funkcji to postać ogólna:
[tex]f(x)=-x^2-5x-4[/tex]
Postać kanoniczna:
[tex]f(x)=a(x-p)+q[/tex]
[tex]f(x)=-1(x-(-\frac{5}{2}))+\frac{9}{4} =-(x+\frac{5}{2})+\frac{9}{4}[/tex]
Postać iloczynowa:
[tex]f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)[/tex]
[tex]f(x)=-1(x-(-1))(x-(-4))=-(x+1)(x+4)[/tex]
Możemy obliczyć monotoniczność funkcji:
Funkcja jest rosnąca w przedziale [tex](-\infty;-\frac{5}{2}][/tex]
Funkcja jest malejąca w przedziale [tex][-\frac{5}{2},\infty)[/tex]
Obliczmy maximum i minimum funkcji w przedziale [tex][-2;3][/tex].
Maximum będzie występować na początku przedziału, a minimum na końcu.
Maximum:
[tex]f(-2)=-4+10-4=2[/tex]
Minimum:
[tex]f(3)=-27-15-4=-46[/tex]
Wiemy, gdzie w podanym przedziale jest min i max, ze względu na jej monotoniczność w tym zakresie, ponieważ jest ona malejąca, czyli na początku przedziału będzie największa a na końcu najmniejsza.
Dziedzina są to wszystkie x, które należą do funkcji, a zbiór wartości są to wszystkie y, które należą do funkcji. Dzięki współczynnikowi kierunkowemu wiemy, w którą stronę skierowane są ramiona funkcji.
