Zadanie dotyczy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego.
Należy rozstrzygnąć:
- ile wynosi suma długości wszystkich krawędzi tego ostrosłupa
- ile wynosi pole powierzchni bocznego tego ostrosłupa.
Należy wybrać prawidłową odpowiedź z podanych wariantów.
Poprawne odpowiedzi: B i D.
Jest to ostrosłup prawidłowy czworokątny, więc w podstawie znajduję się kwadrat o podstawie:
[tex]a = 10\ cm[/tex]
Z rysunku wynika, że pole boczną tworzą cztery przystające trójkąty równoramienne o ramionach:
[tex]c = 13\ cm[/tex]
Obliczamy sumę długości wszystich krawędzi. Warto zaznaczyć, że mamy 4 krawędzie boczne i 4 krawędzie podstawy (otrzymamy je po "sklejeniu" siatki), czyli suma krawędzi wynosi:
[tex]4a + 4c = 4 \cdot 10 cm + 4 \cdot 13\ cm = 40\ cm + 52 cm = 92\ cm[/tex]
Odpowiedź B jest poprawna.
Chcąc oblizyć pole boczne musimy rozstrzygnąc jakie figury tworzą to pole. Tak jak podano powyżej. Pole boczne tworzą cztery takie same trójkąty równoramienne, więc:
[tex]P_b = 4 \cdot P_{\Delta} = 4 \cdot \cfrac{a \cdot h}{2}[/tex]
gdzie:
a - podstawa trójkąta
h - wysokość trójkąta
Wysokość tego trójkąta możemy obliczy korzystając z twierdzenia Pitagorasa:
[tex]a^2 + b^2 = c^2[/tex]
gdzie:
a, b - długości przyprostokątnych
c - długość przeciwprostokątnej
Zgodnie z rysunkiem - możemy zapisać, że:
[tex](\frac{1}{2}a)^2 + h^2 = c^2[/tex]
Podstawiamy dane:
[tex](\frac{1}{2} \cdot 10\ cm)^2 + h^2 = (13\ cm)^2[/tex]
[tex](5\ cm)^2 + h^2 = 169\ cm^2[/tex]
[tex]25\ cm^2 + h^2 = 169\ cm^2[/tex]
[tex]h^2 = 169\ cm^2 - 25\ cm^2[/tex]
[tex]h^2 = 144\ cm^2[/tex]
[tex]h = \sqrt{{144\ cm^2}[/tex]
[tex]h = 12 \ cm[/tex]
Obliczamy pole powierzchni bocznej:
[tex]P_b = 4 \cdot \cfrac{a \cdot h}{2} = 4 \cdot \cfrac{10\ cm \cdot 12\ cm}{2} = 240\ cm^2[/tex]
Odpowiedź D jest poprawna.
