Odpowiedź :
Odpowiedź:
;)
styczna do okręgu: [tex]y=\frac{1}{2}x-5[/tex]
środek okręgu: [tex]S(0;0)[/tex]
a) Punkt styczności
Styczna do okręgu w punkcie styczności jest prostopadła i przechodzi przez środek okręgu.
Prosta prostopadła w punkcie styczności, przechodząca przez punkt S.
Prosta jest prostopadła gdy:
[tex]a_{1}* a_{2}=-1\\\\\frac{1}{2}*a_{2}=-1\ \ \ \ /*2\\\\a_{2}=-2[/tex]
Znamy już współczynnik kierunkowy prostopadłej i otrzymujemy:
[tex]y=-2x+b[/tex]
Znajdujemy współczynnik "b" podstawiając współrzędne punktu przez który ta prosta przechodzi, czyli punkt S!
[tex]0=2*0+b\\\\b=0[/tex]
Prosta prostopadła w punkcie styczności, przechodząca przez punkt S wyraża się równaniem kierunkowym:
[tex]y=-2x[/tex]
Punktem styczności będzie zatem miejsce w którym dwie prostopadłe się przecinają!
Najpierw jednak pozbądźmy się ułamka: prostej podanej w zadaniu:
[tex]y=\frac{1}{2}x-5\ \ \ /*2\\\\2y=x-10[/tex]
Układ równań dwóch prostych!
[tex]\left \{ {{2y=x-10} \atop {y=-2x}} \right. \\\\2*(-2x)=x-10\\\\-4x=x-10\\\\-4x-x=-10\\\\-5x=-10\ \ \ /:(-5)\\\\x=\frac{-10}{-5}=2[/tex]
Wybierzmy sobie teraz dowolne równanie z układu równań i podstawy "x", żeby znaleźć współrzędną y-kową.
[tex]y=-2x\\\\y=-2*(-2)\\\\y=4[/tex]
Współrzędne punktu styczności:
[tex]A(2;4)[/tex]
b) Długość promienia okręgu
Promieniem okręgu będzie długość odcinka |AS|, czyli punktu styczności oraz środka okręgu.
[tex]S(0;0)\\\\A(2;4)[/tex]
[tex]|AS|=r=\sqrt{(2-0)^2+(4-0)^2} =\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}[/tex]
Promień okręgu:
[tex]r=2\sqrt{5}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
