Odpowiedź :
Musimy przesunąć funkcję [tex]y=-3x^2[/tex] o 4 jednostki w prawo i o 3 jednostki w górę.
Napiszmy wzór funkcji:
[tex]g(x)=f(x-p)+q[/tex]
[tex]g(x)=-3(x-4)^2+3=-3(x^2-8x+16)+3=-3x^2+24x-48+3[/tex]
[tex]g(x)=-3x^2+24x-45[/tex]
Obliczmy miejsca zerowe:
[tex]-3x^2+24x-45=0[/tex]
[tex]-x^2+8x-15=0[/tex]
[tex]\Delta=64-(4*-1*-15)[/tex]
[tex]\Delta=64-60=4[/tex]
[tex]\sqrt{\Delta} =2[/tex]
[tex]x_{1} =\frac{-8-2}{-2} =5[/tex]
[tex]x_{2} =\frac{-8+2}{-2} =3[/tex]
Równanie osi symetrii:
[tex]x=\frac{-b}{2a} =\frac{-8}{-2} =4[/tex]
2) Funkcja [tex]f(x)=x^2-4x+3[/tex]
Obliczmy miejsca zerowe:
[tex]x^2-4x+3=0[/tex]
[tex]\Delta=16-(4*1*3)[/tex]
[tex]\Delta=16-12=4[/tex]
[tex]\sqrt{\Delta} =2[/tex]
[tex]x_{1}=\frac{4-2}{2} =1[/tex]
[tex]x_{2} =\frac{4+2}{2}=3[/tex]
Wierzchołek:
[tex]p=\frac{-b}{2a} =\frac{4}{2}=2[/tex]
[tex]q=\frac{-\Delta}{4a}=\frac{-4}{4} =-1[/tex]
[tex]W(2;-1)[/tex]
Obliczmy jeszcze kilka wartości funkcji, aby sporządzić wykres:
[tex]f(0)=0-0+3=3[/tex]
[tex]f(2)=4-8+3=-1[/tex]
[tex]f(-1)=1+4+3=8[/tex]
[tex]f(4)=16-16+3=3[/tex]
[tex]f(5)=25-20+3=8[/tex]
Postać kanoniczna:
[tex]f(x)=a(x-p)^{2}+q[/tex]
[tex]f(x)=1(x-2)^2-1[/tex]
[tex]f(x)=(x-2)^2-1[/tex]
Zbiór wartości:
[tex]ZW=[-1;\infty)[/tex]
Funkcja jest malejąca w przedziale [tex](-\infty;2][/tex]
Funkcja jest rosnąca w przedziale [tex][2;\infty)[/tex]
Punkt przecięcia z osią OY:
[tex]f(0)=0-0+3=3[/tex]
[tex]P(0;3)[/tex]
Funkcja przyjmuje tylko wartość najmniejsza:
[tex]y=q=-1[/tex]
Wyjaśnienia:
Możemy przesunąć wykres w prawo, lewo, do góry i na dół.
Jeśli przesuwamy, w poziomie to przesuwamy współrzędną x, jeśli w pionie to współrzędną y.
Jeżeli chcemy przesunąć wykres w lewo, albo w dół, to na współrzędnych naszego przesunięcia podamy liczby ujemne.
Gdy przesuwamy nasz wykres to możemy zapisać jak zmienia się wzór naszej funkcji jako:
[tex]g(x)=f(x-p)+q[/tex]
p - odpowiada za przesunięcie w lewo bądź prawo.
q - odpowiada za przesunięcie do góry bądź w dół
Współrzędne wierzchołka naszej paraboli obliczamy ze wzoru naszej funkcji:
[tex]W(p;q)[/tex]
[tex]p=\frac{-b}{2a} ,\;q=\frac{-\Delta}{4a}[/tex]
Miejsca zerowe obliczmy przyrównując nasz wzór funkcji do 0.
Oś symetrii paraboli zawsze przechodzi przez wierzchołek paraboli.
Dlatego obliczamy je jako [tex]x=\frac{-b}{2a}[/tex]
Zbiór wartości są to wszystkie wartości y, jakie przyjmuje funkcja.
Monotoniczność oznacza w jakim przedziale funkcja jest rosnąca, stała lub malejąca.
Punkt przecięcia z osią OY jest to punkt, kiedy współrzędna x jest równa 0.
Jeśli współczynnik kierunkowy funkcji (a) jest większy od zera to funkcja przyjmuje tylko wartość najmniejszą, jeśli współczynnik kierunkowy jest mniejszy od zera funkcja przyjmuje tylko wartość największa. Wartość ta oznaczona jest w wierzchołku paraboli we współrzędnej y czyli q.
