Odpowiedź:
a) [tex](x-4)^{2} +(y+4)^{2}=16[/tex]
b)
[tex]B=(4-2\sqrt{3}, -6 )\\C=(4+2\sqrt{3}, -6 )[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
a)
Okrąg można opisać równaniem:
[tex](x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}[/tex]
Nasz okrąg jest styczny do osi OX w punkcie A=(4,0) i jednocześnie jest styczny do ujemnej półosi OY (patrz rysunek 1). Stąd wyznaczamy środek okręgu w punkcie O o współrzędnych (4,-4) i promień r=4.
Podstawiamy te dane do równania okręgu:
[tex](x-4)^{2} +(y+4)^{2}=4^{2} \\(x-4)^{2} +(y+4)^{2}=16[/tex]
b)
Promień okręgu opisanego na trójkącie można obliczyć ze wzoru:
[tex]r=\frac{2}{3}h[/tex]
Stąd wyliczymy wysokość trójkąta równobocznego:
[tex]4=\frac{2}{3}h\\ h=6[/tex]
Ponieważ okrąg leży w IV ćwiartce układu współrzędnych dlatego też współrzędne y punktów B i C są ujemne i wynoszą -6 (patrz rysunek 2).
Wiemy, że wysokość trójkąta równobocznego można zapisać jako [tex]\frac{a\sqrt{3} }{2}[/tex], stąd wyliczymy długość boku a:
[tex]6=\frac{a\sqrt{3} }{2} \\12=a\sqrt{3} \\a=4\sqrt{3}[/tex]
Wysokość AD przecina podstawę BC trójkąta ABC w połowie (punkt D=(4,-6)). W związku z tym aby obliczyć współrzędną x punktu B należy od współrzędnej x punktu D odjąć połowę długości podstawy. Aby obliczyć współrzędną x punktu C należy do współrzędnej x punktu D dodać połowę długości postawy. Stąd mamy:
[tex]B=(4-\frac{1}{2}* 4\sqrt{3}, -6 )\\B=(4-2\sqrt{3}, -6 )[/tex]
[tex]C=(4+\frac{1}{2}* 4\sqrt{3}, -6 )\\C=(4+2\sqrt{3}, -6 )[/tex]
