Częstość drgań masy na końcu belki.
Dane:
l=1m
a=0,04m
m=200kg
[tex]E=2*10^{5} MPa = 2*10^{8}Pa[/tex]
[tex]g=9,81\frac{m}{s^{2} }[/tex]
Wzory potrzbne do rozwiązania zadania:
wzór na naprężenie ścinające [tex]\frac{F}{S} =E\frac{x}{l}[/tex]
siła sprężystości F=kx
częstość drgań [tex]\omega=\sqrt{\frac{k}{m} } }[/tex]
Rozwiązanie:
Ze wzoru na naprężenie wyliczymy wychylenie belki x:
[tex]x=\frac{F}{S}*\frac{l}{E}[/tex]
gdzie F to siła grawitacji z jaką masa m działa na belkę równa:
F=mg
, a S to pole przekroju belki:
S=a²
ostateczny wzór przyjmuje postać:
[tex]x=\frac{mg}{a^{2} } *\frac{l}{E}[/tex]
Teraz możemy podstawić dane i policzyć wychylenie belki:
[tex]x=\frac{200kg*9,81\frac{m}{s^{2} } }{(0,04m)^{2} } *\frac{1m}{2*10^{8} Pa}[/tex]
x=0,61cm
Na wygiętą belkę działa siła sprężystości równa co do wartości sile grawitacji. Możemy to zapisać:
mg=kx
stąd wyliczymy współczynnik sprężystości k:
[tex]k=\frac{mg}{x}[/tex]
Ze wzoru na częstość drgań mamy:
[tex]\omega=\sqrt{\frac{k}{m} }[/tex]
Podstawiamy współczynnik k i wzór na częstość drgań przyjmuje postać:
[tex]\omega=\sqrt{\frac{\frac{mg}{x} }{m} } =\sqrt{\frac{g}{x} }[/tex]
Podstawiając dane obliczamy wynik końcowy:
[tex]\omega=\sqrt{ \frac{9,81 \frac{m}{s^{2} } }{0,0061m}}= 40Hz[/tex]
