Odpowiedź:
A= (- 3 , - 2) , B = ( 1, 4 ) , P= (xp , yp)
xa = - 3 , xb = 1 , ya = - 2 , yb = 4
IAPI=IBPI
Ponieważ trójkąt jest równoramienny , to wysokość trójkąta zawiera się w prostej prostopadłej do podstawy IABI i przechodzącej przez punkt środkowy podstawy
S - punkt środkowy podstawy = (xs , ys)
xs = (xa + xb)/2 = ( - 3 + 1)/2= - 2/2 = - 1
ys = (ya + yb)/2 = ( - 2 + 4)/2 = 2/2 = 1
S = ( - 1 , 1 )
Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej zawierającej podstawę IABI
a₁ = (yb - ya)/(xb - xa) = (4 + 2)/(1 + 3) = 6/4 = 3/2
Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej zawierającej wysokość trójkąta i przechodzącej przez punkt S
a₁ * a₂ = - 1 warunek prostopadłości prostych
a₂ = - 1 : a₁ = - 1 : 3/2 = - 1 * 2/3 = - 2/3
y = (- 2/3)x + b₂ , S = ( - 1 , 1 )
1 = - 2/3 * (-1) + b₂
1 = 2/3 + b₂
b₂ = 1 - 2/3 = 1/3
y = (- 2/3)x + 1/3
Ponieważ punkt P leży na prostej y = 1/2x - 9 , więc leży również na prostej zawierającej wysokość trójkąta y = (- 2/3)x + 1/3
Współrzędne punktu przecięcia prostych są współrzędnymi punktu P
y = (- 2/3)x + 1/3
y = 1/2x - 9
- 2/3x + 1/3 = 1/2x - 9
-2/3x - 1/2x = - 9 - 1/3
- 4/6x - 3/6x = - 9 1/3
- 7/6x = - 9 1/3
7/6x = 9 1/3
x = 9 1/3 : 7/6 = 28/3 * 6/7 = 4 * 2 = 8
y = 1/2x - 9 = 1/2 * 8 - 9 = 4 - 9 = - 5
P = (xp , yp) = ( 8 , - 5)
IAPI = √[(xp - xa)² + (yp - ya)²]= √[(8 + 3)² + ( - 5 +2)²] = √[(11²+(-3)²=
= √(121 + 9) = √130