Rysunek pomocniczy w załączniku.
H - wysokość ostrosłupa
a- długość krawędzi podstawy ostrosłupa
b = 2a - długość krawędzi bocznej ostrosłupa
2h - długość, krótszej przekątnej podstawy
Sześcikąt składa sięz sześciu trójkątów równobocznych, stąd wiemy ile będzie wynosić wysokość każdego z tych trójkątów.
[tex]h=\dfrac{a\sqrt{3} }{2} ~~\land~~2h=6~~\Rightarrow~~2\cdot \dfrac{a\sqrt{3} }{2} =6\\\\2\cdot \dfrac{a\sqrt{3} }{2} =6\\\\a\sqrt{3} =6~~\mid \div \sqrt{3} \\\\a=\dfrac{6}{\sqrt{3} } \cdot \dfrac{\sqrt{3} }{\sqrt{3} } =2\sqrt{3}~~[j][/tex]
Wiemy :
a = 2√3 [j] - długość krawędzi podstawy ostrosłupa
b = 2a ∧ a = 2√3 ⇒ b = 4√3 [j] - długość krawędzi bocznej ostrosłupa
Aby obliczyć wysokość ostrosłupa, skorzystam z Tw.Pitagorasa:
[tex]H^{2} +a^{2} =b^{2} ~~\land~~ a=2\sqrt{3} ~~\land~~b=4\sqrt{3} \\\\H^{2} +( 2\sqrt{3})^{2} =( 4\sqrt{3})^{2}\\\\H^{2} = 48-12\\\\H^{2} =36~~\land ~~H > 0 ~~\Rightarrow ~~H=\sqrt{36} =6~~[j][/tex]
Obliczam pole podstawy:
[tex]P_{p} =6\cdot P\Delta _{rownobocznego} \\\\ P\Delta _{rownobocznego}=\dfrac{a^{2 }\sqrt{3} }{4} ~~\land~~a=2\sqrt{3} \\\\ P\Delta _{rownobocznego}=\dfrac{( 2\sqrt{3})^{2 }\sqrt{3} }{4} =\dfrac{4\cdot 3\cdot \sqrt{3} }{4} =3\sqrt{3} \\\\P_{p} =6\cdot 3\sqrt{3}=18\sqrt{3}~~[j^{2} ][/tex]
Obliczam objętość ostrosłupa:
[tex]V=\dfrac{1}{3} \cdot P_{p} \cdot H~~\land~~P_{p}=18\sqrt{3} ~~\land~~H=6 \\\\V=\dfrac{1}{3} \cdot 18\sqrt{3}\cdot 6~~[j^{3} ]\\\\V=36\sqrt{3} ~~[j^{3} ][/tex]
Odp:Objętość ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego wynosi 36√3 [j³].
