Odpowiedź:
Rysujemy sobie pomocniczy rysunek w układzie współrzędnych. Zaznaczamy sobie punkty A, B i prostą z polecenia.
Pierwsze co robię to wyznaczam punkt D. leżący w połowie między punktami A i B. Będzie to środek postaw trójkąta równoramiennego:
[tex]D=\left(\cfrac{-3+1}{2},\cfrac{-2+4}{2}\right)=(-1,1)[/tex]
następnie należy znaleźć równanie prostej prostopadłej do postawy przechodzącej przez punkt D.
tzn.
współczynnik kierunkowy będzie równy odwrotności nachylenia odcinka AB pomnożony przez (-1):
[tex]a_D=-\cfrac{1}{\frac{y_B-y_A}{x_b-x_A}}=-\cfrac{1}{\frac{4-(-2)}{1-(-3)}}=-\cfrac{1}{\frac{6}{4}}=-\cfrac{4}{6}=\boxed{-\cfrac23}[/tex]
stąd równanie prostej przechodzącej przez punkt D, będzie mieć postać:
[tex]g:\;\;y=-\frac23x+b_D[/tex]
wstawiamy nas zpunkt D i liczymy wyraz wolny [tex]b_D[/tex]
[tex]1=-\frac{2}{3}\cdot(-1)+b_D\\1=\frac23+b_D\;\;\;\;\;/-\frac23\\b_D=\frac13[/tex]
zatem prosta ma postać:
[tex]g: \boxed{y=-\frac23x+\frac13}[/tex]
Żeby znaleźć punkt P. należy wziąc punkt przecięcia tych dwóch prostych. Czyli zwykły ujład równań z dwiema porostymi:
[tex]\begin{bmatrix}y_P=\frac{1}{2}x_P-9\\ y_P=-\frac{2}{3}x_P+\frac{1}{3}\end{bmatrix}\\[/tex]
odjemuje ze sobą drugie z pierwszym:
[tex]0=\frac76x_P-9\frac13\\\frac76x_P=\frac{28}{3}\;\;\;\;\;\;/\cdot\frac67\\\boxed{x_P=8}\\\boxed{y_P=-5}[/tex]
a długość odcinka AP to:
[tex]\left|AP\right|=\sqrt{(8-(-3))^2+(-5-(-2))^2}=\sqrt{130}[/tex]
