zad.1
Długość odcinka o końcach w punktach [tex]A=(x_{a} ,y_{a} ),~~B=(x_{b} ,y_{b} )[/tex] jest dana wzorem:
[tex]\mid AB\mid =\sqrt{(x_{b} -x_{a} )^{2} +(y_{b} -y_{a} )^{2} }[/tex]
a)
obliczę długości trzech boków trójkąta by sprawdzić czy dwa boki tego trójkata będą sobie równe.
[tex]\mid AB\mid =\sqrt{(-5-(-6))^{2} +(-1-7)^{2} } =\sqrt{(-5+6)^{2} +(-8)^{2} } =\sqrt{1^{2} +(-8)^{2} } =\sqrt{1+64} =\sqrt{65} \\\\\mid BC\mid = \sqrt{(2-(-5))^{2} +(-5-(-1))^{2} } = \sqrt{(2+5)^{2} +(-5+1)^{2} } =\sqrt{7^{2} +(-4)^{2} } =\sqrt{49+16} =\sqrt{65} \\\\\mid AC\mid = \sqrt{(2-(-6))^{2} +(-5-7)^{2} } =\sqrt{(2+6)^{2} +(-12)^{2} } =\sqrt{8^{2} +144} =\sqrt{64+144} =\sqrt{208}=\sqrt{16\cdot 13} =4\sqrt{13} \\\\\mid AB\mid=\mid BC\mid~~\Rightarrow ~~\Delta ABC~~jest~~\Delta~~rownoramiennym[/tex]
b)
Obliczę długości trzech boków trójkąta , potem by sprawdzić czy jest to trójkąt prostokątny skorzystam z twiedzenia Pitagorasa gdzie najdłuższy z boków tego trójkąta będzie przeciwprostokatną a pozostałe dwa przyprostokątnymi tego trójkąta. Jeśli suma kwadratów przyprostokątnych będzie równa kwadratowi przeciwprostokatnej to trójkąt ADC będzie prostokątny.
[tex]\mid AC\mid = \sqrt{(2-(-6))^{2} +(-5-7)^{2} } =\sqrt{(2+6)^{2} +(-12)^{2} } =\sqrt{8^{2} +144} =\sqrt{64+144} =\sqrt{208}=\sqrt{16\cdot 13} =4\sqrt{13}\\\\\mid AD\mid =\sqrt{(11-(-6))^{2} +(1-7)^{2} } =\sqrt{(11+6)^{2} +(-6)^{2} } =\sqrt{17^{2} +36} =\sqrt{289+36} =\sqrt{325} =\sqrt{25\cdot 13} =5\sqrt{13} \\\\\mid DC\mid = \sqrt{(2-11)^{2} +(-5-1)^{2} } =\sqrt{(-9)^{2} +(-6)^{2} } =\sqrt{81+36} =\sqrt{117} =\sqrt{9\cdot 13 } =3\sqrt{13} \\\\[/tex]
[tex]\mid AD\mid -przeciwprostokatna~~\Delta ADC\\\\\mid AC\mid , \mid DC\mid - przyprostokatne~~\Delta ADC\\\\Korzystam~~z~~Tw.Pitagorasa:\\\\\mid AC\mid^{2} +\mid DC\mid^{2} =\mid AD\mid ^{2} \\\\(3\sqrt{13} )^{2} +(4\sqrt{13} )^{2} =(5\sqrt{13} )^{2} \\\\117+208=325\\\\325=325\\\\L=P~~\Rightarrow~~\Delta ADC~~jest~~\Delta~~prostokatnym.[/tex]
Po obliczeniu długości boków tego trójkata możemy również skorzytać z własności trójkąta egipskiego ⇒ jest to taki trójkąt prostokątny , w którym stosunek długości boków wynosi: 3 ÷ 4 ÷ 5
3√13 ÷ 4√13 ÷ 5√13 ⇒ trójkąt ADC jest prostokątny.
zad.2
[tex]Srodkiem~~odcinka ~~AB,~~gdzie~~A=(x_{1} ,y_{1} )~~oraz~~B=(x_{2} .y_{2} )~~jest~~punkt:\\\\S=(\dfrac{x_{1} +x_{2} }{2} ;\dfrac{y_{1} +y_{2} }{2})[/tex]
Obliczę współrzędne środków ocinków AD oraz CD.
P - środek odcinka AD gdzie A=(-11,-5) , D=(-1,5)
[tex]P=(\dfrac{-11-1}{2} ,\frac{-5+5}{2} )\\\\P=(-6,0)[/tex]
Q - środek odcinka CD gdzie C=(4,0) , D=(-1,5)
[tex]Q=(\dfrac{4-1}{2} ,\dfrac{0+5}{2} )\\\\Q=(1\frac{1}{2} ,2\frac{1}{2} )[/tex]
Obliczam długości odcinków CP i BQ.
[tex]\mid CP\mid = \sqrt{(-6-4)^{2} +(0-0)^{2} } =\sqrt{(-10)^{2} } =\sqrt{100} =\sqrt{10^{2} } =10\\\\\mid BQ\mid =\sqrt{(1\frac{1}{2} -(-6))^{2} +(2\frac{1}{2} -(-10))^{2} } =\sqrt{(1\frac{1}{2} +6)^{2} +(2\frac{1}{2} +10)^{2} } =\sqrt{(7\frac{1}{2} )^{2} + (12\frac{1}{2} ) ^{2} } =\sqrt{(\frac{15}{2} )^{2} +(\frac{25}{2} ) ^{2} } =\sqrt{ \dfrac{225}{4} + \dfrac{625}{4} } =\sqrt{ \dfrac{850}{4} } =\dfrac{\sqrt{25\cdot 34} }{\sqrt{4} } =\dfrac{5\sqrt{34} }{2}[/tex]
