Witaj :)
Promień okręgu wpisanego w dowolny trójkąt możemy obliczyć korzystając z następującego wzoru:
[tex]\Large \boxed{r=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p} }}[/tex]
gdzie:
[tex]r\ -[/tex] promień okręgu wpisanego w trójkąt,
[tex]a,b,c\ -[/tex] długości boków trójkąta,
[tex]p\ -[/tex] połowa obwodu trójkąta o bokach długości a,b,c.
Korzystając z rysunku znajdującego się w załączniku wprowadźmy odpowiednie oznaczenia:
[tex]|AB|=a=6\\|BC|=b=8\\|AC|=c\\|\measuredangle ABC|=\alpha =60^\circ[/tex]
We wzorze na promień okręgu wpisanego w trójkąt znajdują się długości wszystkich trzech boków. My znamy długości dwóch boków tego trójkąta, oraz miarę kąta między nimi. Aby obliczyć długość trzeciego boku "c" skorzystamy z twierdzenia cosinusów. Twierdzenie cosinusów mówi nam o tym, że w dowolnym trójkącie kwadrat długości jednego boku jest równy sumie kwadratów długości dwóch pozostałych boków pomniejszony o podwojony iloczyn ich długości i cosinusa kąta między nimi. Możemy zatem zapisać, że:
[tex]\Large \boxed{c^2=a^2+b^2-2ab\cos\alpha}[/tex]
Wiemy, że:
[tex]a=6\\b=8\\\cos\alpha= \cos 60^\circ=\frac{1}{2}[/tex]
Zatem podstawmy nasze dane i obliczmy długość boku "c":
[tex]c^2=6^2+8^2-2\cdot 6\cdot 8\cdot \frac{1}{2}\\ c^2=36+64-48=52\\c=\sqrt{52}=\sqrt{4\cdot13}=2\sqrt{13}\\\\\boxed{c=2\sqrt{13}}[/tex]
Znając już wszystkie długości boków trójkata obliczamy połowe jego obwodu:
[tex]p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{6+8+2\sqrt{13}}{2}=\frac{14+2\sqrt{13}}{2}=\boxed{7+\sqrt{13} }[/tex]
Ostatnim etapem będzie obliczenie promienia okręgu wpisanego w trójkąt:
[tex]r=\sqrt{\frac{(7+\sqrt{13}-6)(7+\sqrt{13}-8)(7+\sqrt{13}-2\sqrt{13})}{7+\sqrt{13}} } \\\\r=\sqrt{\frac{(1+\sqrt{13})(-1+\sqrt{13})(7-\sqrt{13})}{7+\sqrt{13}} } \\\\r=\sqrt{\frac{(\sqrt{13}+1)(\sqrt{13}-1)(7-\sqrt{13})}{7+\sqrt{13}} }\\ \\r=\sqrt{\frac{[(\sqrt{13})^2-1^2](7-\sqrt{13})}{7+\sqrt{13}} } \\\\r=\sqrt{\frac{(13-1)(7-\sqrt{13})}{7+\sqrt{13}} } \\\\r=\sqrt{\frac{12(7-\sqrt{13})}{7+\sqrt{13}} \cdot \frac{7-\sqrt{13}}{7-\sqrt{13}} }[/tex]
[tex]r=\sqrt{\frac{12(7-\sqrt{13})^2}{7^2-(\sqrt{13})^2} } =\sqrt{\frac{12(7-\sqrt{13})^2}{49-13} }=\sqrt{\frac{12(7-\sqrt{13})^2}{36} } =\sqrt{\frac{(7-\sqrt{13})^2}{3} } \\\\r=\frac{7-\sqrt{13}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{7\sqrt{3}-\sqrt{13\cdot 3}}{(\sqrt{3})^2} =\frac{7\sqrt{3}-\sqrt{39}}{3} \\\\\boxed{r=\frac{7\sqrt{3}-\sqrt{39}}{3} }[/tex]
Odpowiedź.: Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt ma długość [tex]\frac{7\sqrt{3}-\sqrt{39}}{3}[/tex].
