Odpowiedź:
Szczegółowe wyjaśnienie:
Jeżeli α i β są miarami kątów ostrych trójkąta prostokątnego, to α, β < 90° i α + β = 90°.
sinαsinβ = sinαsin(90° - α) = sinα(sin90°cosα - sinαcos90°)
=sinα(1 · cosα - sinα · 0) = sinαcosα
Skorzystaliśmy z:
sin(x - y) = sinxcosy - sinycosx
sin90° = 1
cos90° = 0
Przyjmijmy
sinαcosα = x |·2
2sincosα = 2x |sin2x = 2sinxcosx
sin2α = 2x
Wiemy, że funkcja sinus jest ograniczona i przyjemie wartość największą równą 1.
Stąd:
sin2α ≤ 1 → 2x ≤ 1 |:2
x ≤ 1/2
Czyli największą wartość jaką przyjmuje, to 1/2.
Inny sposób, za pomocą pochodnej, który podam w skrócie:
Mamy funkcję: f(x) = sinxcosx
Obliczamy pochodną funkcji: f'(x) = cosxcosx + sinx(-sinx) = cos²x - sin²x
Znajdujemy miejsce zerowe pochodnej funkcji: f'(x) = 0 ⇔ cos²x - sin²x = 0
cos²x = sin²x ⇒ x = kπ/4 = 45°k
Kąt jest ostry. Zatem x = 45°.
Jest to warunek konieczny.
Sprawdzamy warunek wystarczający (znak pochodnej).
f'(x) < 0 ⇔ cos²x - sin²x < 0 ⇒ (cosx - sinx)(cosx + sinx) < 0
cosx = sinx ⇒ x = π/4 + kπ
cosx = -sinx ⇒ x = -π/4 + kπ
f'(x) > 0 ⇔ cos²x - sin²x > 0 ⇒ (cosx - sinx)(cosx + sinx) < 0
cosx = sinx ⇒ x = π/4 + kπ
cosx = -sinx ⇒ x = -π/4 + k
Kąt x jest kątem ostrym. Zatem x = π/4 = 45°.
Po lewej stronie 45° pochodna jest dodatnia, a po prawej jest ujemna.
W związku z tym dla x = 45° funkcja przyjmuje ekstremum lokalne (maksimum) wynoszące:
f(45°) = sin45°cos45° = √2/2 · √2/2 = 1/2