Promień (R) okręgu opisanego na trójkącie o bokach a, b i c oraz polu P liczymy ze wzoru:
[tex]R=\dfrac{abc}{4P}[/tex]
b = 4
c = 9
P = 6√5
Zatem brakuje nam długości boku a.
Aby ją obliczyć potrzebujemy wysokości trójkąta.
Pole trójkąta to połowa iloczynu jego boku i wysokości prostopadłej do tego boku..
Wyznaczamy wysokość poprowadzoną do boku b=4:
[tex]P=\frac12bh\\\\6\sqrt5=\frac12\cdot4\cdot h\\\\6\sqrt5=2\cdot h\qquad/:2\\\\h=3\sqrt5[/tex]
Wysokość ta razem z bokiem c=9 i odcinkiem będącym sumą boku b=4 i jego przedłużenia (x) do spodku wysokości tworzy trójkąt prostokątny, czyli z tw. Pitagorasa:
[tex](x+4)^2+h^2=c^2\\\\(x+4)^2+(3\sqrt5)^2=9^2\\\\(x+4)^2+9\cdot5=81\\\\(x+4)^2=81-45\\\\(x+4)^2=36\\\\x+4=6\\\\x=2[/tex]
Wysokość ta tworzy trójkąt prostokątny również z samym przedłużeniem (x) podstawy oraz z szukanym bokiem a, czyli z tw. Pitagorasa:
[tex]x^2+h^2 = a^2\\\\a^2=2^2+(3\sqrt5)^2\\\\a^2=4+45\\\\a^2=49\\\\a=7[/tex]
Zatem promień okręgu opisanego na tym trójkącie:
[tex]R=\dfrac{7\cdot4\cdot9}{4\cdot6\sqrt5}=\dfrac{7\cdot3}{2\sqrt5}\cdot\dfrac{\sqrt5}{\sqrt5}=\dfrac{21\sqrt5}{10}[/tex]
