Założenia:
|AB| = |BC| = |CD| = |AD| = a
ΔABE ≡ ΔAEC
Teza:
[tex]P_{O_{BCD}}=P_{O_{ABE}}+P_{O_{ADE}}[/tex]
Dowód:
|AB| = a ⇒ |BD| = a√2 ⇒ |BE| = |DE| = |AE| = 0,5·a√2
Skoro ΔABE ≡ ΔAEC, to AE jest wysokością ΔABD, czyli ΔABE i ΔAEC są prostokątne. Oczywiście ΔBCD również jest prostokątny.
Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o przyprostokątnych a i b oraz przeciwprostokątnej c, to: [tex]r=\frac{a+b-c}2[/tex]
Zatem:
[tex]r_{O_{BCD}}=\dfrac{|BC|+|CD|-|BD|}2=\dfrac{a+a-a\sqrt2}2=\dfrac{2a-a\sqrt2}2 \\\\r_{O_{ABE}}=r_{O_{ADE}}=\dfrac{|AE|+|DE|-|AD|}2=\dfrac{0,5a\sqrt2+0,5a\sqrt2-a}2=\dfrac{a\sqrt2-a}2[/tex]
Stąd:
[tex]P_{O_{BCD}}=\pi\left(\dfrac{2a-a\sqrt2}2\right)^2=\pi\left(\dfrac{4a^2-4a^2\sqrt2+2a^2}4\right)=\pi a^2\cdot\dfrac{3-2\sqrt2}2 \\\\\\\\P_{O_{ABE}}+P_{O_{ADE}}=\pi\left(\dfrac{a\sqrt2-a}2\right)^2+ \pi\left(\dfrac{a\sqrt2-a}2\right)^2=2\pi\left(\dfrac{a(\sqrt2-1)}2\right)^2=\\\\\\=2\pi\left(\dfrac{a^2(2-2\sqrt2+1)}2\right)= 2\pi a^2\cdot\dfrac{3-2\sqrt2}4=\pi a^2\cdot\dfrac{3-2\sqrt2}2=P_{O_{BCD}}[/tex]
Czego należało dowieść.
