Odpowiedź:
Szczegółowe wyjaśnienie:
Jak widać w zadaniu nasz funkcja w mianowniku ma funkcję kwadratową. Czyli wartości naszej funkcji f(x) to będa dokładnie odwrotności funkcji z mianownika.
Tak więc funkcje zmianownika nazywamy sobie f'(x) = [tex]x^{2}[/tex] +4x -1
Ponieważ w zadaniu musimy obliczyć największą wartość funkcji to w przypadku naszej f'(x) będzie to najmniejsza wartosć gdyż jest to odwrotność f(x).
Jak przypomnimy sobie info o funkcji kwadratowej to okarze się, że wartości ekstremalne funkcja kwadratowa w zadanym przedziale (w naszym zadaniu to przedział zamknięty <1;3> )moze osiągać w granicach rozpatrywanego rpzedziału lub w wierzchołku. Oczywiście wierzchołek bierzemy pod uwage tylko wtedy gdy mieści sie w rozpatrywanym przedziale. Z tego wynika, że musimy w pierwszej kolejności obliczyć współrzedne wierzchołka naszej f'(x). Czyli musimy policzyć W(p,q).
Obliczamy współrzędną p wierzchołka:
p=[tex]\frac{-b}{2a}[/tex] =[tex]\frac{-4}{2}[/tex]=-2
juz widzimy, że współrzędna p wierzzchołka nie należy do rozpatrywanego rpzedziału więc nie musimy już liczyć współrzednej q bo wierzchołka nie będziemy uwzgledniac w naszych obliczeniach jako że znajduje sie poza naszym przedziałem.
Pozostaje więc nam obliczyc teraz jedynie wartości dla granic przedziału.
Czyli musimy obliczyć f'(1) oraz f'(3)
Podstawiamy do wzoru funkcji pod x:
f'(1) = [tex]1^{2}[/tex] +4·1 - 1
f'(1) = 4
f'(3) = [tex]3^{2}[/tex] +4·3 -1= 9+12-1= 20
Jak widać nasza f'(x) osiąga wartość minimum w punkcie 1.
Skoro f(x) jest odwrotnością to minimum f'(x) jest maximum f(x) czyli maximum f(1) w przedziale <1;3> wyniesie [tex]\frac{1}{4}[/tex] (odwrotność 4)
