Odpowiedź:
[tex]\huge\boxed{\left(\dfrac{7}{35}\right)^{-\log_{25\sqrt5}32}=4}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]\left(\dfrac{7}{35}\right)^{-\log_{25\sqrt5}32}[/tex]
Przekształćmy liczby:
[tex]\dfrac{7}{35}=\dfrac{7:7}{35:7}=\dfrac{1}{5}=5^{-1}[/tex]
skorzystaliśmy z definicji:
[tex]a^{-n}=\left(\dfrac{1}{a}\right)^n,\ a\neq0[/tex]
[tex]25\sqrt5=5^2\cdot5^{\frac{1}{2}}=5^{2+\frac{1}{2}}=5^{2\frac{1}{2}}=5^{2,5}[/tex]
skorzystaliśmy z definicji:
[tex]\sqrt{a}=a^\frac{1}{2},\ a\geq0[/tex]
i z twierdzenia:
[tex]a^n\cdot a^m=a^{n+m}[/tex]
Otrzymujemy:
[tex]\log_{25\sqrt5}32=\log_{5^{2,5}}2^5[/tex]
[tex]\left(\dfrac{7}{35}\right)^{-\log_{25\sqrt5}32}=\left(5^{-1}\right)^{-\log_{5^{2,5}}2^5}=5^{-1\cdot(-\log_{5^{2,5}}2^5)}=5^{\log_{5^{2,5}}2^5}[/tex]
Jako, że w podstawie potęgi mamy liczbę 5, a chcielibyśmy skorzystać z twierdzenia:
[tex]a^{\log_ab}=b,\ a,b > 0\ \wedge\ a\neq1[/tex]
to musimy zmienić podstawę w logarytmie.
Skorzystamy z twierdzenia:
[tex]\log_ab=\dfrac{\log_cb}{\log_ca},\ a,b,c > 0\ \wedge\ a\neq1\ \wedge\ c\neq1[/tex]
[tex]\log_{5^{2,5}}2^5=\dfrac{\log_52^5}{\log_55^{2,5}}=\dfrac{\log_52^5}{2,5}=\dfrac{\log_52^5}{\frac{5}{2}}=\dfrac{2}{5}\log_52^5=5\!\!\!\!\diagup\cdot\dfrac{2}{5\!\!\!\!\diagup}\log_52\\\\=2\log_52=\log_52^2=\log_54[/tex]
Skorzystaliśmy z definicji logarytmu:
[tex]\log_ab=c\iff a^c=b,\ a,b > 0\ \wedge\ a\neq1[/tex]
oraz twierdzenia:
[tex]\log_ab^n=n\log_ab,\ a,b > 0\ \wedge\ a\neq1[/tex]
Ostatecznie otrzymujemy:
[tex]\left(\dfrac{7}{35}\right)^{-\log_{25\sqrt5}32}=5^{\log_54}=4[/tex]
