Odpowiedź:
sinα · cosα = 0,18
Szczegółowe wyjaśnienie:
Dane:
[tex]\sin\alpha+\cos\alpha=\dfrac{4}{5}\\\\\alpha\in(90^o,\ 180^o)[/tex]
Kąt α jest w drugiej ćwiartce układu współrzędnych.
W drugiej ćwiartce tylko funkcja sinus przyjmuje wartości dodatnie. Pozostałe przyjmują watości ujemne.
Układamu układ równań:
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}\sin\alpha+\cos\alpha=\dfrac{4}{5}&|-\cos\alpha\\\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\end{array}\right\\\left\{\begin{array}{ccc}\sin\alpha=\dfrac{4}{5}-\cos\alpha&(1)\\\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1&(2)\end{array}\right[/tex]
podstawiamy (1) do (2):
[tex]\left(\dfrac{4}{5}-\cos\alpha\right)^2+\cos^2\alpha=1\qquad|(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\\\\\left(\dfrac{4}{5}\right)^2-2\cdot\dfrac{4}{5}\cdot\cos\alpha+\cos^2\alpha+\cos^2\alpha=1\\\\\dfrac{16}{25}-\dfrac{8}{5}\cos\alpha+2\cos^2\alpha=1\qquad|\cdot25\\\\16-40\cos\alpha+50\cos^2\alpha=25\qquad|-25\\\\50\cos^2\alpha-40\cos\alpha-9=0[/tex]
zróbmy podstawienie [tex]\cos\alpha=t,\ t\in(-1,\ 0)[/tex]
[tex]50t^2-40t-9=0\\\\\Delta=(-40)^2-4\cdot50\cdot(-9)=1600+1800=3400\\\sqrt\Delta=\sqrt{3400}=\sqrt{100\cdot34}=10\sqrt{34}\\\\t_1=\dfrac{-(-40)-10\sqrt{34}}{2\cdot50}=\dfrac{40-10\sqrt{34}}{100}=\dfrac{4-\sqrt{34}}{10}\in(-1,\ 0)\\\\t_2=\dfrac{4+\sqrt{34}}{10}\notin(-1,\ 0)[/tex]
wracamy do podstawienia:
[tex]\cos\alpha=\dfrac{4-\sqrt{34}}{10}[/tex]
Podstawiamy do (1):
[tex]\sin\alpha=\dfrac{4}{5}-\dfrac{4-\sqrt{34}}{10}\\\\\sin\alpha=\dfrac{8}{10}-\dfrac{4-\sqrt{34}}{10}\\\\\sin\alpha=\dfrac{8-4+\sqrt{34}}{10}\\\\\sin\alpha=\dfrac{4+\sqrt{34}}{10}[/tex]
Obliczamy szukaną wartość:
[tex]\sin\alpha\cdot\cos\alpha=\dfrac{4+\sqrt{34}}{10}\cdot\dfrac{4-\sqrt{34}}{10}\qquad|(a-b)(a+b)=a^2-b^2\\\\\sin\alpha\cdot\cos\alpha=\dfrac{4^2-(\sqrt{34})^2}{100}\\\\\sin\alpha\cdot\cos\alpha=\dfrac{16-34}{100}\\\\\sin\alpha\cdot\cos\alpha=\dfrac{18}{100}\\\\\sin\alpha\cdot\cos\alpha=0,18[/tex]
