Wielokąty foremne, miara kątów.
- Dla dowolnego wielokąta foremnego, miara jednego z jego kątów wynosi:
[tex]\alpha = \frac{(n-2)\cdot 180^\circ}{n}[/tex]
gdzie [tex]n[/tex] - liczba wierzchołków tego wielokąta. - Mamy więc równanie:
[tex]\frac{(p-2)\cdot 180^\circ}{p} + \frac{(m-2)\cdot 180^\circ}{m} + \frac{(n-2)\cdot 180^\circ}{n} = 360^\circ[/tex] - Przekształcamy je dostając:
[tex]\frac{p-2}{p} + \frac{m-2}{m} + \frac{n-2}{n} = 2[/tex]
a dalej:
[tex]1 - \frac{2}{p} + 1 - \frac{2}{m} + 1 - \frac{2}{n} = 2\\\frac{2}{p} +\frac{2}{m} +\frac{2}{n} = 1\\\frac{2}{p} = 1 - (\frac{2}{m} +\frac{2}{n})\\p = \frac{2}{1 - \frac{2}{m} - \frac{2}{n}}[/tex] - Patrząc na ostatnie wyrażenie, zauważamy, że największa możliwa wartość [tex]p[/tex] jest wtedy, gdy mianownik ułamka jest możliwie najmniejszy.
- Z kolei mianownik ten najmniejszy jest, gdy każdy z ułamków [tex]\frac{2}{m}[/tex] i [tex]\frac{2}{n}[/tex] jest możliwie największy.
- To zaś dzieje się, gdy każdy z mianowników tych ułamków jest możliwie najmniejszy. Minimalna wartość [tex]m[/tex] oraz [tex]n[/tex] to [tex]3[/tex] (wielokąt nie może mieć mniej wierzchołków niż [tex]3[/tex]).
- Jednak w takiej sytuacji wyrażenie [tex]1 - \frac{2}{3} - \frac{2}{3} = - \frac{1}{3}[/tex] jest ujemne - liczba wierzchołków nie może być ujemna. "Zwiększamy" więc stopniowo wartość dowolnej z niewiadomych [tex]m[/tex] lub [tex]n[/tex] (np. [tex]n[/tex]). Przy [tex]n=6[/tex] dostajemy [tex]1 - \frac{2}{3} - \frac{2}{6} =0[/tex], zwiększamy więc dodatkowo o jeden (by nie dzielić przez zero).
- Mamy więc finalnie:
[tex]p_{max} = \frac{2}{1 - \frac{2}{3} - \frac{2}{7}} = 42[/tex]
Wzór na miarę kąta wielokąta foremnego wyznaczamy przez:
- wybranie dowolnego wierzchołka (spośród [tex]n[/tex])
- poprowadzenie z niego wszystkich przekątnych (jest ich [tex]n-2[/tex])
- dzielimy w ten sposób wielokąt na [tex]n-2[/tex] trójkątów
- stąd (ponieważ każdy z trójkątów ma sumę miar kątów równą [tex]180^\circ[/tex]) dostajemy sumę miar kątów wielokąta równą [tex](n-2)\cdot 180^\circ[/tex]
- finalnie (ponieważ wielokąt jest foremny - ma wszystkie kąty równe) miara jednego z kątów tego wielokąta to:
[tex]\frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}[/tex]
