Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 18. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem, którego cosinus jest równy 0,8. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.
Możemy zapisać przekątną podstawy jako:
[tex]d=a\sqrt{2}[/tex]
Oznaczmy przekątną graniastosłupa jako D, możemy zapisać:
[tex]cos\alpha =0,8=\frac{4}{5}[/tex]
[tex]cos\alpha =\frac{d}{D} =\frac{a\sqrt{2} }{D}[/tex]
[tex]\frac{a\sqrt{2} }{D} =\frac{4}{5}[/tex]
[tex]D=a\sqrt{2} *\frac{5}{4} =\frac{5\sqrt{2} }{4} a[/tex]
Zapiszmy twierdzenie pitagorasa w trójkącie utworzonego z przekątnej podstawy i przekątną graniastosłupa oraz jego wysokości:
[tex](a\sqrt{2})^2+h^2 =d^2[/tex]
[tex]2a^2+18^2=(\frac{5\sqrt{2} }{4} a)^2[/tex]
[tex]2a^2+324=\frac{50}{16} a^2[/tex]
[tex]\frac{18}{16} a^2=324[/tex]
[tex]a=4\sqrt{18} =12\sqrt{2}[/tex]
Obliczmy pole powierzchni całkowitej:
[tex]P_c=2P_p+4P_b=2a^2+4*a*h=2*(12\sqrt{2})^2+4*12\sqrt{2}*18=576+864\sqrt{2}[/tex]
Skoro przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem, więc cosinus zawiera się między przekątną podstawy, a przekątną graniastosłupa.
