Rozwiązanie:
Rysunki w załącznikach.
[tex]\bold{(d)}[/tex]
[tex]y=\ln |x|, \ y = 0, \ x =-e^{2}, \ x =-e[/tex]
Formujemy całkę i obliczamy pole:
[tex]$|P|=\int \limits^{-e}_{-e^{2}} \ln|x| \ \text{d}x=\int \limits^{-e}_{-e^{2}} \ln(-x) \ \text{d}x=x(\ln (-x)-1)\Big|^{-e}_{-e^{2}}=[/tex]
[tex]$=-e(\ln e-1)+e^{2}(\ln e^{2}-1)=e^{2}[/tex]
[tex]\bold{(e)}[/tex]
[tex]$y=-\frac{1}{x^{2}} , \ y = x, \ y = 8x[/tex]
Nie mamy obszaru normalnego, więc dzielimy go na dwa obszary normalne. Punkty przecięcia krzywych:
[tex]$-\frac{1}{x^{2}}=x \iff x=-1[/tex]
[tex]$y=-1[/tex]
[tex]A=(-1,-1)[/tex]
[tex]$-\frac{1}{x^{2}} =8x \iff x=-\frac{1}{2}[/tex]
[tex]$y=8 \cdot \Big(-\frac{1}{2} \Big)=-4[/tex]
[tex]$B=\Big(-\frac{1}{2},-4\Big)[/tex]
[tex]x=8x \iff x = 0[/tex]
[tex]y=0[/tex]
[tex]C=(0,0)[/tex]
Obliczamy poszczególne pola:
[tex]$|P_{1}|=\int\limits^{-\frac{1}{2}}_{-1} x+\frac{1}{x^{2}} \ \text{d}x= \frac{1}{2}x^{2} -\frac{1}{x} \Big|^{-\frac{1}{2}}_{-1}=\frac{17}{8} -\frac{3}{2}= \frac{5}{8}[/tex]
[tex]$|P_{2}|=\int\limits^{0}_{-\frac{1}{2}} x-8x\ \text{d}x=-7\int\limits^{0}_{-\frac{1}{2}} x\ \text{d}x=-\frac{7}{2} x^{2} \Big|^{0}_{-\frac{1}{2}}=0+\frac{7}{8} =\frac{7}{8}[/tex]
Obliczamy pole całkowite:
[tex]$|P|=|P_{1}|+|P_{2}|=\frac{5}{8}+\frac{7}{8} =\frac{12}{8} =\frac{3}{2}[/tex]
