[tex]a^{n} -b^{n} =(a-b)\cdot ( a^{n-1} +a^{n-2} \cdot b+...+a\cdot b^{n-2} +b^{n-1} )\\\\a^{5} -b^{5} =(a-b)\cdot (a^{4} +a^{3} b+a^{2} b^{2} +ab^{3} +b^{4} )[/tex]
Z tego wzoru skróconego mnożenia dla n=5 będę korzystała by udowodnić, że liczba dzieli się przez 13 .
[tex]8^{15} -5^{5} =(8^{3} )^{5} -5^{5} =512^{5} -5^{5} =(512-5)\cdot (8^{4} +8^{3} \cdot 5+8^{2} \cdot 5^{2} +8\cdot 5^{3} +5^{4} )=507 \cdot (8^{4} +8^{3} \cdot 5+8^{2} \cdot 5^{2} +8\cdot 5^{3} +5^{4} )=13\cdot 39\cdot (8^{4} +8^{3} \cdot 5+8^{2} \cdot 5^{2} +8\cdot 5^{3} +5^{4} )=13\cdot 13\cdot 3 \cdot (8^{4} +8^{3} \cdot 5+8^{2} \cdot 5^{2} +8\cdot 5^{3} +5^{4} )~~cbdu[/tex]
Nie obliczam działań w drugim nawiasie , ponieważ różnica z pierwszego nawiasu tj. 507 dzieli się przez 13 ponieważ 507=13×13×3 .
