Do funkcji kwadratowej f(x) = ax² + bx + c mamy dane oba miejsca zerowe
x₁ = -2 i x₂ = 7 oraz punkt A(1, 4) przez który przechodzi parabola, która jest wykresem tej funkcji.
Jako, że mamy oba miejsca zerowe funkcji, to możemy wzór funkcji przedstawić w postaci iloczynowej:
f(x) = a(x - x₁)(x - x₂)
Podstawiamy wartości miejsc zerowych otrzymując postać:
f(x) = a(x - (-2))(x - 7) = a(x + 2)(x - 7)
Wykres funkcji przechodzi przez punkt A(1, 4). Zatem współrzędne tego punktu muszą spełniać równanie:
y = a(x + 2)(x - 7)
Podstawiamy x = 1 i y = 4:
Podstawiamy wartość a do postaci iloczynowej:
[tex]f(x)=-\dfrac{2}{9}(x+2)(x-7)\\\\f(x)=-\dfrac{2}{9}(x^2-5x-14)\\\\f(x)=-\dfrac{2}{9}x^2+\dfrac{10}{9}x+\dfrac{28}{9}[/tex]
Z postaci ogólnej i postaci iloczynowej otrzymujemy równanie:
[tex]ax^2+bx+c=-\dfrac{2}{9}x^2+\dfrac{10}{9}x+\dfrac{28}{9}[/tex]
a stąd:
[tex]\huge\boxed{b=\dfrac{10}{9}}\\\\\boxed{c=\dfrac{28}{9}}[/tex]
Jako, że a < 0, to funkcja przyjmuje wartość największą w wierzchołku paraboli.
Wierzchołek paraboli ma współrzędne postaci:
[tex]W(p,\ q),\ \text{gdzie}\ p=\dfrac{-b}{2a}\ \wedge\ q=f(p)=\dfrac{-(b^2-4ac)}{4a}[/tex]
Obliczamy wartość odciętej (p) wierzchołka:
[tex]p=\dfrac{-\frac{10}{9}}{2\cdot\left(-\frac{2}{9}\right)}=\dfrac{10}{9}\cdot\dfrac{9}{4}=\dfrac{5}{2}[/tex]
Obliczamy rzędną (q) wierzchołka:
[tex]f(p)=f\left(\dfrac{5}{2}\right)=-\dfrac{2}{9}\cdot\left(\dfrac{5}{2}\right)^2+\dfrac{10}{9}\cdot\dfrac{5}{2}+\dfrac{28}{9}=-\dfrac{25}{18}+\dfrac{25}{9}+\dfrac{28}{9}=-\dfrac{25}{18}+\dfrac{53}{9}\\\\=-\dfrac{25}{18}+\dfrac{106}{18}=\dfrac{81}{18}=\dfrac{9}{2}[/tex]
Ostatecznie:
[tex]\huge\boxed{y_{max}=\dfrac{9}{2}\ \text{dla}\ x=\dfrac{5}{2}}[/tex]