Odpowiedź:
Objątość graniastosłupa V = Pp•h = (9√3/2)•6 = 27√3
Szczegółowe wyjaśnienie:
Jeżeli w nazwie graniastosłupa czy ostrosłupa występuje "prawidłowy",
to oznacza, ze podstawą jest wielokąt foremny (równoboczny) - na
rysunku mamy sześciokąt foremny (równoboczny) o boku a = √3.
Objętość graniastosłupa V obliczamy z iloczynu pola podstawy Pp i wysokosci h graniastosłupa, V = Pp•h
Jeśli cyrklem narysujemy sobie okrąg, a na tym okręgu tym samym promieniem na cyrklu odłożymy 6 równych odcinków - to wlaśnie wykonaliśmy konstrukcję szesciokąta foremnego.
Jeśli teraz połączymy przeciwległe narożniki tego szesciokąta przekątnymi (na rysunku pokazano nam jedną taką przekatną), to wyznaczymy na tym sześciokącie 6 trójkątów równobocznych, każdy o boku a = √3.
Do obliczenia pola podstawy Pp skorzystamy ze znanego wzoru na pole
trojkąta równobocznego:
P = a²√3/4 = √3²•√3/4 = √9•√3/4 = 3√3/4 [√9 = 3 bo 3² = 9] to
pole podstawy Pp = 6P = 6•3√3/4 = 18√3/4 = 9√3/2 to Pp = 9√3/2
Pokazana na rysunku przekątna szesciokąta zawiera dwa boki trójkąta
równobocznego - to długość przekątnej wynosi p = 2√3.
Na rysunku zaznaczono trójkąt prostokątny, gdzie przyprostokątna
pionowa jest jednocześnie wysokością h graniastosłupa.
Wysokość h obliczymy z fujkcji tangensa (tg, tan, tang):
h/p = tg 60º = √3 to h/p = √3 /•p
[mnożymy obie strony równania przez /•p] to
h = p√3 i p = 2√3 to h = (2√3)•√3 = 2√(3•3) = 2√9 = 2•3 = 6
to h = 6 to:
Odpowiedź: Objątość graniastosłupa V = Pp•h = (9√3/2)•6 = 27√3
