Jest to zadanie z działu geometria.
Dotyczy pola rombu, a konkretnie należy wyliczyć długość krótszej przekątnej rombu, jeśli wiadomo, że:
- jedna z przekątnych rombu jest o 3 cm dłuższa od drugiej
- pole tego rombu wynosi 14 cm kwadratowych
Prawidłowa odpowiedź:
Długość krótszej przekątnej tego rombu wynosi 4 cm.
Przypomnijmy wzór na pole rombu:
[tex]P = \frac{1}{2} \cdot p \cdot q[/tex]
gdzie:
P - pole rombu
p, q - przekątne rombu
Wypiszmy dane z zadania:
[tex]P =14\ cm^2[/tex]
Wprowadźmy oznaczenia:
[tex]p[/tex] - długość krótszej przekątnej rombu
[tex]q = p + 3 cm[/tex] - długość dłuższej przekątnej rombu
Podstawiamy do wzoru i otrzymujemy:
[tex]P = \frac{1}{2} \cdot p \cdot q[/tex]
[tex]\frac{1}{2} \cdot p \cdot (p + 3) = 14| \cdot 2[/tex]
[tex]p(p + 3) = 28[/tex]
[tex]p^2 + 3p - 28 = 0[/tex]
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe postaci [tex]ax^2 + bx + c = 0[/tex]
[tex]a = 1, b = 3, c= - 28[/tex]
Korzystamy z wyróżnika, tzw. "delty"
[tex]\Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 9 + 112 = 121[/tex]
[tex]\sqrt{\Delta} = \sqrt{121} = 11[/tex]
[tex]\Delta > 0 \rightarrow[/tex] 2 miejsca zerowe
[tex]p_1 = \cfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \cfrac{-3-11}{2} = \cfrac{-14}{2} = - 7[/tex]
To rozwiązanie odpada ponieważ długość przekątnej nie może być liczbą ujemną.
[tex]p_2 = \cfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \cfrac{-3+11}{2} = \cfrac{8}{2} = 4[/tex]
Otrzymaliśmy rozwiązanie:
[tex]p = 4\ cm[/tex]
Możemy sprawdzić czy obliczenia są poprawne:
[tex]p = 4\ cm[/tex]
więc:
[tex]q = p + 3\ cm = 4 \ cm + 3\ cm = 7\ cm[/tex]
[tex]P = \frac{1}{2} \cdot p \cdot q= \frac{1}{2} \cdot 4\ cm \cdot 7\ cm = 14\ cm^2[/tex]
Wniosek: Obliczenia są wykonane prawidłowo.